Calcule a integral.
integral d x1-sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dx1-sin x. O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar a técnica de racionalização do denominador, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1-sin x.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos numerador e denominador por 1+sin x:
integral dx1-sin x = integral 1+sin x(1-sin x)(1+sin x),dx

Passo 3

No denominador aparece a diferença de quadrados:
(1-sin x)(1+sin x)=1-sin^2 x=cos^2 x
Logo a integral vira
integral 1+sin xcos^2 x,dx

Passo 4

Separamos a fração em duas partes:
1+sin xcos^2 x=1cos^2 x+sin xcos^2 x=sec^2 x + sin xcos^2 x
E notamos que
sin xcos^2 x=sin xcos xcdot1cos x=tan xsec x

Passo 5

Agora integramos cada parte:
integral sec^2 x,dx=tan x
integral tan xsec x,dx=sec x
Somando os resultados obtemos
tan x + sec x + C

Resposta

tan x + sec x + C

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