A equação sec ^2 y+cotg(x-y)=tg^2 x define implicitamente y como uma função de x. Ache d yd x.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita sec^2y+cot(x-y)=tan^2x e pede tfracdydx. O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas de sec^2u, cot u e tan^2u.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
Usamos que
  • ddx[sec^2y]=2sec^2ytan ycdotdydx (regra da cadeia),
  • ddx[cot(x-y)]=-csc^2(x-y)cdot(1-dydx),
  • ddx[tan^2x]=2tan xsec^2x.
    Portanto, obtemos:

Passo 3

2sec^2ytan y,y' -csc^2(x-y)l(1 - y'r) = 2tan xsec^2x

Passo 4

Expandindo e agrupando os termos que contêm y':
2sec^2ytan y,y' - csc^2(x-y) + csc^2(x-y),y' = 2tan xsec^2x
Logo,

Passo 5

y'l(2sec^2ytan y + csc^2(x-y)r) = 2tan xsec^2x + csc^2(x-y)

Passo 6

Isolando y', concluímos:

Passo 7

dydx = y' = 2tan xsec^2x + csc^2(x-y)2sec^2ytan y + csc^2(x-y)

Resposta

dydx = 2tan x,sec^2x + csc^2(x - y)2sec^2y,tan y + csc^2(x - y).

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