Calcule a integral
Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla em coordenadas esféricas
Passo 2
Primeiro, integramos em
. Como
, ficamos com
$$I=\frac{1}{3}\int_{0}{\frac{\pi}{2}}!\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\bigl((\pi-\cos\theta+\sin\theta)\sin\varphi+\cos\varphi\bigr)^{3}\sin\varphi,d\varphi,d\theta.
$$
Passo 3
Em seguida expandimos o cubo e separamos a integral em
. Precisamos dos seguintes integrais-padrão em
:
$$\int\sin{4}\varphi,d\varphi=\frac{3\pi}{16},\quad\int\sin{3}\varphi\cos\varphi,d\varphi=\frac{1}{4},\quad\int\sin{2}\varphi\cos{2}\varphi,d\varphi=\frac{\pi}{16},\quad\int\sin\varphi\cos^{3}\varphi,d\varphi=\frac{1}{4}.
$$ Substituindo e coletando termos em potências de
, obtemos
$$I=\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\biggl(\frac{\pi}{16}A{3}+\frac{1}{4}A^{2}+\frac{\pi}{16}A+\frac{1}{12}\biggr)d\theta.
$$
Passo 4
Agora expandimos em
. Usamos
$$\int_{0}{\frac{\pi}{2}}A{3}d\theta,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}A{2}d\theta,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}A,d\theta,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta,
$$ e as identidades
$$\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\sin\theta,d\theta=1,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\cos\theta,d\theta=1,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\sin2\theta,d\theta=1,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\sin{2}\theta,d\theta=\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta,d\theta=\frac{\pi}{4}.
$$ Após expandir e integrar termo a termo, os polinômios em
,
e
se cancelam de modo que todo o integral se reduz a
.
Passo 5
Por fim, concluímos que o valor da integral é exatamente o resultado indicado no enunciado.