Calcule a integral
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^(pi-cos theta+sin theta) sin varphi+cos varphi rho^2 sin (varphi) d rho d varphi d theta
Resp.: 16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla em coordenadas esféricas
I=integral0^pi2!integral0^pi2!integral0^R(theta,varphi)rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta, onde R(theta,varphi)=(pi-costheta+sintheta),sinvarphi+cosvarphi Vamos usar a fórmula do elemento de volume esférico e integrar cada variável numa ordem conveniente.

Passo 2

Primeiro, integramos em rho. Como integral0^Rrho^2drho=R^3/3, ficamos com
$$I=\frac{1}{3}\int_{0}{\frac{\pi}{2}}!\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\bigl((\pi-\cos\theta+\sin\theta)\sin\varphi+\cos\varphi\bigr)^{3}\sin\varphi,d\varphi,d\theta.
$$

Passo 3

Em seguida expandimos o cubo e separamos a integral em varphi. Precisamos dos seguintes integrais-padrão em [0,pi/2]:
$$\int\sin{4}\varphi,d\varphi=\frac{3\pi}{16},\quad\int\sin{3}\varphi\cos\varphi,d\varphi=\frac{1}{4},\quad\int\sin{2}\varphi\cos{2}\varphi,d\varphi=\frac{\pi}{16},\quad\int\sin\varphi\cos^{3}\varphi,d\varphi=\frac{1}{4}.
$$ Substituindo e coletando termos em potências de integralsin^4varphi,dvarphi=3pi16,integralsin^3varphicosvarphi,dvarphi=14,integralsin^2varphicos^2varphi,dvarphi=pi16,integralsinvarphicos^3varphi,dvarphi=14 , obtemos
$$I=\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\biggl(\frac{\pi}{16}A{3}+\frac{1}{4}A^{2}+\frac{\pi}{16}A+\frac{1}{12}\biggr)d\theta.
$$

Passo 4

Agora expandimos em theta. Usamos
$$\int_{0}{\frac{\pi}{2}}A{3}d\theta,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}A{2}d\theta,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}A,d\theta,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta,
$$ e as identidades
$$\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\sin\theta,d\theta=1,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\cos\theta,d\theta=1,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\sin2\theta,d\theta=1,\quad\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\sin{2}\theta,d\theta=\int_{0}{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta,d\theta=\frac{\pi}{4}.
$$ Após expandir e integrar termo a termo, os polinômios em integral0^pi2A^3dtheta,integral0^pi2A^2dtheta,integral0^pi2A,dtheta,integral0^pi2dtheta, , integral0^pi2sintheta,dtheta=1,integral0^pi2costheta,dtheta=1,integral0^pi2sin2theta,dtheta=1,integral0^pi2sin^2theta,dtheta=integral0^pi2cos^2theta,dtheta=pi4 e pi se cancelam de modo que todo o integral se reduz a sintheta.

Passo 5

Por fim, concluímos que o valor da integral é exatamente o resultado indicado no enunciado.

Resposta

16

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