Questão Extra da Prova 1 (opcional) (20 pontos) A equação de um circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão E(t) pode ser descrita matematicamente pela EDO de 2a ordem L ddotq(t)+R dotq(t)+1C q(t)=E(t), sendo q(t) a carga no capacitor. Pede-se:
b) Considere L=0.2 H, R=3 Omega, C=0.1 F e E(t)=2. Encontre a solução completa (solução homogênea mais a solução particular) da EDO. Utilize o método de sua preferência.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem de um circuito RLC série com L=0.2 H, R=3 Ω, C=0.1 F e fonte constante E(t)=2, encontrando a solução completa q(t) (homogênea + particular). Vamos precisar de métodos de EDO com coeficientes constantes: caracterização da parte homogênea por equação característica e busca de um particular adequado.

Passo 2

Primeiro substituímos os valores em
L,ddot q+R,dot q+1C,q=E(t)
Com L=0.2, R=3, C=0.1 e E(t)=2, vem
0.2,ddot q+3,dot q+10,q=2
Dividindo tudo por 0.2 para simplificar, obtemos
ddot q+15,dot q+50,q=10

Passo 3

Para a solução homogênea, consideramos a EDO sem o termo forçante (lado direito zero):
ddot q+15,dot q+50,q=0
A equação característica é
r^2+15r+50=0
Resolvendo:
r=-15pmraiz15^2-4cdot502=-15pm52,
o que dá as raízes r_1=-5 e r_2=-10. Logo a solução homogênea é
qh(t)=A e^-5t+B e^-10t

Passo 4

Para a solução particular de uma forçante constante, usamos o ansatz q_p=K (constante). Então q_p’’=0 e q_p’=0. Substituindo em
ddot q+15dot q+50q=10,
vem
50K=10
o que dá K=0.2. Portanto
qp(t)=0.2

Passo 5

A solução geral (completa) é a soma da homogênea com a particular, ficando
q(t)=A e^-5t+B e^-10t+0.2

Resposta

q(t)=A e^-5t+B e^-10t+0.2

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