Questão Extra da Prova 1 (opcional) (20 pontos) A equação de um circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão
pode ser descrita matematicamente pela EDO de 2a ordem
, sendo
a carga no capacitor. Pede-se:
b) Considere
e
. Encontre a solução completa (solução homogênea mais a solução particular) da EDO. Utilize o método de sua preferência.
b) Considere
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem de um circuito RLC série com L=0.2 H, R=3 Ω, C=0.1 F e fonte constante E(t)=2, encontrando a solução completa q(t) (homogênea + particular). Vamos precisar de métodos de EDO com coeficientes constantes: caracterização da parte homogênea por equação característica e busca de um particular adequado.
Passo 2
Primeiro substituímos os valores em
Com L=0.2, R=3, C=0.1 e E(t)=2, vem
Dividindo tudo por 0.2 para simplificar, obtemos
Passo 3
Para a solução homogênea, consideramos a EDO sem o termo forçante (lado direito zero):
A equação característica é
Resolvendo:
o que dá as raízes r_1=-5 e r_2=-10. Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para a solução particular de uma forçante constante, usamos o ansatz q_p=K (constante). Então q_p’’=0 e q_p’=0. Substituindo em
vem
o que dá K=0.2. Portanto
Passo 5
A solução geral (completa) é a soma da homogênea com a particular, ficando