Considere A=L U dada por:
[lll 2 & 1 & 2 1 & 2 & 3 4 & 1 & 2 ]=[ccc 1 & 0 & 0 1 / 2 & 1 & 0 2 & -2 / 3 & 1 ] cdot[ccc 2 & 1 & 2 0 & 3 / 2 & 2 0 & 0 & -2 / 3 ]
encontre a inversa de A por meio das inversas de L e U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A que é igual ao produto de duas matrizes, L e U. O que a gente precisa fazer é encontrar a inversa de A usando as inversas de L e U. Para isso, vamos lembrar que se A = L U, então A^-1 = U^-1 L^-1. Vamos por partes para entender e calcular cada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inversa da matriz L. A matriz L é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal principal, o que facilita calcular sua inversa. A inversa de uma matriz triangular inferior com 1 na diagonal também é uma matriz triangular inferior. Vamos fazer os cálculos:
L^-1 = [ccc 1 & 0 & 0 -1/2 & 1 & 0 (2)(-1/2) + ( -2/3)(1) & 0 & 1 ] = [ccc 1 & 0 & 0 -1/2 & 1 & 0 -1 & 2/3 & 1 ]

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz U. A matriz U é uma matriz triangular superior, e sua inversa também será triangular superior. Para matrizes triangulares superiores, a inversa pode ser encontrada invertendo os elementos da diagonal e resolvendo os outros elementos de cima para baixo. Vamos calcular:
U^-1 = [ccc 1/2 & -1/3 & -1 0 & 2/3 & -1 0 & 0 & -3/2 ]

Passo 4

Com as inversas de L e U calculadas, agora é hora de encontrar a inversa de A. Lembrando que A^-1 = U^-1 L^-1, vamos multiplicar essas duas matrizes:
A^-1 = U^-1 L^-1 = [ccc 1/2 & -1/3 & -1 0 & 2/3 & -1 0 & 0 & -3/2 ] cdot [ccc 1 & 0 & 0 -1/2 & 1 & 0 -1 & 2/3 & 1 ]
Vamos multiplicar linha por coluna:
  • Primeiro elemento (1,1):
(1/2)(1) + (-1/3)(-1/2) + (-1)(-1) = 1/2 + 1/6 + 1 = 36 + 16 + 66 = 106 = 53
  • Segundo elemento (1,2):
(1/2)(0) + (-1/3)(1) + (-1)(2/3) = 0 - 1/3 - 2/3 = -1
  • Terceiro elemento (1,3):
(1/2)(0) + (-1/3)(0) + (-1)(1) = 0 + 0 -1 = -1
  • Segundo linha:
Elemento (2,1):
0(1) + (2/3)(-1/2) + (-1)(-1) = 0 -1/3 +1 = 2/3
Elemento (2,2):
0(0) + (2/3)(1) + (-1)(2/3) = 0 + 2/3 - 2/3 = 0
Elemento (2,3):
0(0) + (2/3)(0) + (-1)(1) = 0 + 0 -1 = -1
  • Terceira linha:
Elemento (3,1):
0(1) + 0(-1/2) + (-3/2)(-1) = 0 + 0 + 3/2 = 3/2
Elemento (3,2):
0(0) + 0(1) + (-3/2)(2/3) = 0 + 0 -1 = -1
Elemento (3,3):
0(0) + 0(0) + (-3/2)(1) = 0 + 0 -3/2 = -3/2

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = [ccc 5/3 & -1 & -1 2/3 & 0 & -1 3/2 & -1 & -3/2 ]

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