encontre a inversa de A por meio das inversas de L e U.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A que é igual ao produto de duas matrizes, L e U. O que a gente precisa fazer é encontrar a inversa de A usando as inversas de L e U. Para isso, vamos lembrar que se A = L U, então A^-1 = U^-1 L^-1. Vamos por partes para entender e calcular cada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inversa da matriz L. A matriz L é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal principal, o que facilita calcular sua inversa. A inversa de uma matriz triangular inferior com 1 na diagonal também é uma matriz triangular inferior. Vamos fazer os cálculos:
Agora, vamos encontrar a inversa da matriz U. A matriz U é uma matriz triangular superior, e sua inversa também será triangular superior. Para matrizes triangulares superiores, a inversa pode ser encontrada invertendo os elementos da diagonal e resolvendo os outros elementos de cima para baixo. Vamos calcular: