Questão Extra da Prova 1 (opcional) (20 pontos) A equação de um circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão E(t) pode ser descrita matematicamente pela EDO de 2a ordem L ddotq(t)+R dotq(t)+1C q(t)=E(t), sendo q(t) a carga no capacitor. Pede-se:
a) Encontre uma expressão analítica para o comportamento da carga q(t), considerando L=1 H, R=10 Omega, C=0.1 F, E(t)=0 V e as condições iniciais q(0)=1 e dotq(0)=0.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a carga q(t) num circuito RLC série descrito pela EDO de 2ª ordem L\ddot{q}(t)+R\dot{q}(t)+\tfrac{1}{C}q(t)=E(t), com L=1 H, R=10 Ω, C=0.1 F, E(t)=0 e condições iniciais q(0)=1, \dot{q}(0)=0. Vamos usar teoria de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Substituindo os valores dados na equação e considerando E(t)=0, obtemos a EDO homogênea:
ddotq(t) + 10,dotq(t) + 10,q(t) = 0

Passo 3

Para resolver, montamos a equação característica correspondente:
$$
r^2 + 10r + 10 = 0$$

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
$$
r_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 40}}{2} = -5 \pm \sqrt{15}$$

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
$$
q(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$$

Passo 6

Agora usamos as condições iniciais para determinar A e B. Em t=0:
$$
q(0)=A+B=1, q(0)=A+B=1,\dot{q}(0)=A r_1 + B r_2 = 0.$$
Resolvendo esse sistema, obtemos
$$
A = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{6}, \quad B = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}.$$

Passo 7

Substituindo A e B na solução geral, chega-se à expressão final de q(t).

Resposta

q(t)=l(tfrac12+tfracraiz156r)e^(-5+raiz15)t+l(tfrac12-tfracraiz156r)e^(-5-raiz15)t

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