Questão Extra da Prova 1 (opcional) (20 pontos) A equação de um circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão
pode ser descrita matematicamente pela EDO de 2a ordem
, sendo
a carga no capacitor. Pede-se:
a) Encontre uma expressão analítica para o comportamento da carga
, considerando
,
e as condições iniciais
.
a) Encontre uma expressão analítica para o comportamento da carga
Passo 1
O exercício pede para encontrar a carga q(t) num circuito RLC série descrito pela EDO de 2ª ordem L\ddot{q}(t)+R\dot{q}(t)+\tfrac{1}{C}q(t)=E(t), com L=1 H, R=10 Ω, C=0.1 F, E(t)=0 e condições iniciais q(0)=1, \dot{q}(0)=0. Vamos usar teoria de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Substituindo os valores dados na equação e considerando E(t)=0, obtemos a EDO homogênea:
Passo 3
Para resolver, montamos a equação característica correspondente:
$$
r^2 + 10r + 10 = 0$$
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
$$
r_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 40}}{2} = -5 \pm \sqrt{15}$$
Passo 5
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
$$
q(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$$
Passo 6
Agora usamos as condições iniciais para determinar A e B. Em t=0:
$$
q(0)=A+B=1,
\dot{q}(0)=A r_1 + B r_2 = 0.$$
Resolvendo esse sistema, obtemos
$$
A = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{6}, \quad B = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}.$$
Passo 7
Substituindo A e B na solução geral, chega-se à expressão final de q(t).