Calcule os seguintes limites:
d) lim x 0 tg x-sen xsen^2 x

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite
limxto 0tan x - sin xsin^2 x
Esse é um problema de limites envolvendo funções trigonométricas; para resolver vamos usar manipulações algébricas e aproximações para pequenas variações (expansões em série de Taylor até a ordem necessária).

Passo 2

Vamos reescrever tan x em termos de sin x e cos x:
tan x = sin xcos x
Logo, o numerador fica
tan x - sin x = sin xcos x - sin x = sin xl(1cos x-1r)=sin x,1-cos xcos x

Passo 3

Substituindo esse resultado sobre sin^2 x, temos:
tan x - sin xsin^2 x = sin x,1-cos xcos xsin^2 x = 1-cos xcos x,sin x

Passo 4

Agora usamos as aproximações de Taylor ao redor de x=0:
sin x approx x, cos x approx 1 - x^22
Então para xto0
1-cos x approx x^22,
e cos xto1, sin xapprox x. Substituindo em
1-cos xcos x,sin x,
fica aproximadamente
x^221cdot x = x2

Passo 5

Como x2to0 quando xto0, concluímos que o limite vale zero.

Resposta

0

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