Em cada item, use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
(b) f(x, y)=arctg(x^2+y^2), x(u, v)=u ln v, y(u, v)=v e^u.

Passo 1

A gente tem a função composta
f(x,y)=arctg(x2+y2),
x(u,v)=u\ln v e y(u,v)=v e^u. O conteúdo é regra da cadeia para variáveis múltiplas, e vamos precisar de f_x, f_y, x_u, y_u, x_v e y_v.

Passo 2

Primeiro derivamos f em relação a x e a y. Lembrando que a derivada de arctg(w) é 1/(1+w^2) e w=x2+y2, temos:
fx=11+(x^2+y^2)^2cdot2x=2x1+(x^2+y^2)^2,
fy=11+(x^2+y^2)^2cdot2y=2y1+(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a u, mantendo v constante:
xu=partialpartial u(uln v)=ln v,
yu=partialpartial u(v e^u)=v e^u

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial f/partial u:
partial fpartial u=fx,xu+fy,yu =2x1+(x^2+y^2)^2ln v+2y1+(x^2+y^2)^2v e^u

Passo 5

Derivamos x e y em relação a v, mantendo u constante:
xv=partialpartial v(uln v)=uv,
yv=partialpartial v(v e^u)=e^u

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial f/partial v:
partial fpartial v=fx,xv+fy,yv =2x1+(x^2+y^2)^2uv+2y1+(x^2+y^2)^2e^u

Resposta

partial fpartial u=2x1+(x^2+y^2)^2ln v+2y1+(x^2+y^2)^2v e^u, partial fpartial v=2x1+(x^2+y^2)^2uv+2y1+(x^2+y^2)^2e^u.

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