Em cada item, use a regra da cadeia para calcular
e
(escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de
e
).
(b)
.
(b)
Passo 1
A gente tem a função composta
f(x,y)=arctg(x2+y2),
x(u,v)=u\ln v e y(u,v)=v e^u. O conteúdo é regra da cadeia para variáveis múltiplas, e vamos precisar de f_x, f_y, x_u, y_u, x_v e y_v.
f(x,y)=arctg(x2+y2),
x(u,v)=u\ln v e y(u,v)=v e^u. O conteúdo é regra da cadeia para variáveis múltiplas, e vamos precisar de f_x, f_y, x_u, y_u, x_v e y_v.
Passo 2
Primeiro derivamos f em relação a x e a y. Lembrando que a derivada de arctg(w) é 1/(1+w^2) e w=x2+y2, temos:
Passo 3
Agora derivamos x e y em relação a u, mantendo v constante:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 5
Derivamos x e y em relação a v, mantendo u constante:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
: