Calcule a integral integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x y d z d y d x, transformando para coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x,y,dz,dy,dx. O conteúdo principal é a mudança para coordenadas cilíndricas, usando x=rcostheta,;y=rsintheta,;z=z e o Jacobiano r.

Passo 2

No plano xy, a região 0<= x<=1,;0<= y<=raiz1-x^2 é um quarto de círculo de raio 1. Logo os limites cilíndricos são thetain[0,pi/2], rin[0,1]. Para z, vai de z=raizx^2+y^2=r até z=raiz2-x^2-y^2=raiz2-r^2. O integrando e o diferencial ficam
x,y,dz,dy,dx=(rcostheta)(rsintheta);r,dz,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos em z primeiro:
integralz=r^raiz2-r^2dz=raiz2-r^2-r

Passo 4

Então a integral se separa em
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta ;integral0^1r^3l(raiz2-r^2-rr),dr

Passo 5

O integral em theta é
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta=tfrac12

Passo 6

Agora em r temos
J=integral0^1r^3raiz2-r^2,dr-integral0^1r^4,dr

Passo 7

Para a primeira parte use u=2-r^2, du=-2r,dr, que dá
integral0^1r^3raiz2-r^2,dr=tfrac12integral1^2(2-u)raizu,du=16raiz2-1430

Passo 8

A segunda parte é
integral0^1r^4,dr=15

Passo 9

Logo
J=16raiz2-1430-15=8raiz2-1015

Passo 10

Multiplicando por tfrac12 (do integral em theta), obtemos o valor da integral original.

Resposta

4raiz2-515

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