Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de f(x, y, z) sobre a região dada.
f(x, y, z)=y ; x^2+y^2+z^2 <= 1, x, y, z <= 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral tripla da função sobre a região definida pela equação e onde . Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio 1 e na parte onde todas as coordenadas são negativas. Para resolver isso, usaremos coordenadas esféricas, que são úteis para lidar com regiões esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi para coordenadas esféricas :
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano xy a partir do eixo x, e é o ângulo a partir do eixo z.

Passo 3

A função que vamos integrar é y = rho sinphi sintheta . Em coordenadas esféricas, isso fica:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e com base na região dada:
  1. varia de 0 a 1, pois a esfera tem raio 1.
  2. Como , precisamos encontrar os ângulos e que correspondem a essa região.
Para e , temos que varia de a .
Para , o ângulo varia de a .

Passo 5

Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral0^1 integralpi2^3pi2 integralpi2^pi (rho sinphi sintheta) cdot rho^2 sinphi , dphi , dtheta , drho
Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^1 integralpi2^3pi2 integralpi2^pi rho^3 sin^2phi sintheta , dphi , dtheta , drho

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem, começando por integralpi2^pi sin^2phi , dphi :
integral sin^2phi , dphi = phi2 - sin(2phi)4
Sabemos que:
[ pi2 - sin(2pi)4 ] - [ pi4 - sin(pi)4 ] = pi2 - pi4 = pi4
Aplicando os limites:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em integralpi2^3pi2 sintheta , dtheta :
[ -cos(3pi2) ] - [ -cos(pi2) ] = -0 - (-0) = 0
A integral de é :

Passo 8

Finalmente, integramos em integral0^1 rho^3 cdot pi4 cdot 0 , drho = 0 :

Resposta

A integral tripla de sobre a região dada é igual a .

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