Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de sobre a região dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral tripla da função sobre a região definida pela equação e onde . Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio 1 e na parte onde todas as coordenadas são negativas. Para resolver isso, usaremos coordenadas esféricas, que são úteis para lidar com regiões esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas :
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano xy a partir do eixo x, e é o ângulo a partir do eixo z.
Passo 3
A função que vamos integrar é y = rho sinphi sintheta . Em coordenadas esféricas, isso fica:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e com base na região dada:
varia de 0 a 1, pois a esfera tem raio 1.
Como , precisamos encontrar os ângulos e que correspondem a essa região.
Para e , temos que varia de a .
Para , o ângulo varia de a .
Passo 5
Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas esféricas: