Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de f(x, y, z) sobre a região dada.
f(x, y, z)=z(x^2+y^2+z^2)^-3 / 2 ; x^2+y^2+z^2 <= 16, z >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O que isso significa? Basicamente, vamos mudar a maneira de medir as posições no espaço de coordenadas cartesianas ( ) para coordenadas esféricas ( ). Isso é útil quando a região de integração tem simetria esférica, como no nosso caso. Vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e da expressão do elemento de volume nessa coordenação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos a condição , que descreve uma esfera de raio 4 centrada na origem. Além disso, temos , que corresponde à parte da esfera acima do plano . Em coordenadas esféricas, . Então, vira .

Passo 3

Vamos reescrever a função f(rho, theta, phi) = z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 = rho cosphirho^3 = cosphirho^2 em coordenadas esféricas. Sabemos que , então a função fica:
Legal, simplificamos a função!

Passo 4

Agora, vamos lembrar do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Então, nossa integral tripla vai se transformar em:
integral integral integral cosphirho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral integral integral cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Sabemos que cosphi >= 2rho Rightarrow phi <= arccos(2rho) varia de 0 a 4 (raio da esfera). Para , que é o ângulo no plano xy, ele varia de 0 a . Já precisa satisfazer . Resolvendo para :
Então, varia de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral com os limites definidos:
integralrho=2^4 integralphi=0^arccos(2rho) integraltheta=0^2pi cosphi sinphi , dtheta , dphi , drho
Note que começa de 2 porque para , , e não está definida nesse caso.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em integral0^2pi dtheta = 2pi :
2pi integral2^4 integral0^arccos(2rho) cosphi sinphi , dphi , drho
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral em integral cosphi sinphi , dphi = -integral u , du = -u^22 + C = -cos^2phi2 + C . Podemos usar a substituição -cos^2(arccos(2rho))2 + cos^2(0)2 = -(2rho)^22 + 12 = 12 - 2rho^2 , então . A integral se torna:
Aplicando os limites:

Passo 9

Substituindo de volta na integral, temos:
2pi integral2^4 ( 12 - 2rho^2 ) drho = pi integral2^4 (1 - 4rho^2 ) drho

Passo 10

Vamos resolver essa última integral:
pi [ rho + 4rho ]2^4 = pi [ (4 + 44) - (2 + 42) ] = pi [ (4 + 1) - (2 + 2) ] = pi (5 - 4) = pi

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados