Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de
sobre a região dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O que isso significa? Basicamente, vamos mudar a maneira de medir as posições no espaço de coordenadas cartesianas (
) para coordenadas esféricas (
). Isso é útil quando a região de integração tem simetria esférica, como no nosso caso. Vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e da expressão do elemento de volume nessa coordenação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos a condição
, que descreve uma esfera de raio 4 centrada na origem. Além disso, temos
, que corresponde à parte da esfera acima do plano
. Em coordenadas esféricas,
. Então,
vira
.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em coordenadas esféricas. Sabemos que
, então a função fica:
Legal, simplificamos a função!
Passo 4
Agora, vamos lembrar do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é:
Então, nossa integral tripla vai se transformar em:
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. Sabemos que
varia de 0 a 4 (raio da esfera). Para
, que é o ângulo no plano xy, ele varia de 0 a
. Já
precisa satisfazer
. Resolvendo para
:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral com os limites definidos:
Note que
começa de 2 porque para
,
, e
não está definida nesse caso.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
. Podemos usar a substituição
, então
. A integral se torna:
Aplicando os limites:
Passo 9
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 10
Vamos resolver essa última integral:
Resposta
O valor da integral tripla é
.