Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O que a gente tem aqui é calcular a integral
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo em múltiplas variáveis e talvez usar coordenadas polares para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a ordem das integrais. Começamos integrando em relação a $ z $. A integral mais interna é:
Aqui, tratamos $ x $ e $ y $ como constantes porque estamos integrando em relação a $ z $.
Passo 3
Essa integral é simples de resolver. Integramos $ x y $ em relação a $ z $:
Então, a integral tripla agora se torna uma dupla:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a $ y $. Para facilitar, podemos mudar para coordenadas polares onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Assim, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ e o elemento de área $ dy , dx $ vira $ r , dr , d\theta $.
Os limites em coordenadas polares ficam mais simples:
- $ r $ vai de 0 a 1.
- $ \theta $ vai de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (já que $ x $ e $ y $ são positivos).
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Como a parte com $ \theta $ está separada, podemos resolver essa integral primeiro:
Usando a identidade $ \sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta $, a integral fica:
Passo 7
Voltando à integral em $ r $:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 8
Primeiro, resolvemos $ \int_{0}^{1} r^{4} , dr $:
Agora, para $ \int_{0}^{1} r^{3} \sqrt{2 - r^{2}} , dr $, usamos substituição:
Deixe $ u = 2 - r^{2} $, então $ du = -2r , dr $. Precisamos ajustar:
Integrando e resolvendo, acabamos encontrando:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{2\sqrt{2} - 3}{30} $.