Calcule a integral integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x y d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O que a gente tem aqui é calcular a integral
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x y , dz , dy , dx
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo em múltiplas variáveis e talvez usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a ordem das integrais. Começamos integrando em relação a $ z $. A integral mais interna é:
z
Aqui, tratamos $ x $ e $ y $ como constantes porque estamos integrando em relação a $ z $.

Passo 3

Essa integral é simples de resolver. Integramos $ x y $ em relação a $ z $:
x y
Então, a integral tripla agora se torna uma dupla:
z

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a $ y $. Para facilitar, podemos mudar para coordenadas polares onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Assim, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ e o elemento de área $ dy , dx $ vira $ r , dr , d\theta $.
Os limites em coordenadas polares ficam mais simples:
  • $ r $ vai de 0 a 1.
  • $ \theta $ vai de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (já que $ x $ e $ y $ são positivos).

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral0^pi2 integral0^1 (r costheta)(r sintheta) ( raiz2 - r^2 - r ) r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
integral0^pi2 integral0^1 r^3 costheta sintheta ( raiz2 - r^2 - r ) dr , dtheta

Passo 6

Como a parte com $ \theta $ está separada, podemos resolver essa integral primeiro:
theta
Usando a identidade $ \sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta $, a integral fica:
integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta

Passo 7

Voltando à integral em $ r $:
r
Vamos separar essa integral em duas partes:
12 integral0^1 r^3 ( raiz2 - r^2 - r ) dr

Passo 8

Primeiro, resolvemos $ \int_{0}^{1} r^{4} , dr $:
integral0^1 r^4 , dr
Agora, para $ \int_{0}^{1} r^{3} \sqrt{2 - r^{2}} , dr $, usamos substituição:
Deixe $ u = 2 - r^{2} $, então $ du = -2r , dr $. Precisamos ajustar:
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15
Integrando e resolvendo, acabamos encontrando:
integral0^1 r^3 raiz2 - r^2 , dr

Passo 9

Agora, juntando tudo:
12 ( 2raiz215 - 15 ) = 12 ( 2raiz2 - 315 ) = 2raiz2 - 330

Resposta

O valor da integral é $ \frac{2\sqrt{2} - 3}{30} $.

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