Seja S uma superfície plana de área 2, contida no plano z=1, delimitada por uma curva simples fechada C, diferenciável por partes e orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Use o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo
l F(z, y, z)=(e^x^2+1+y) tau+(3 x-2 ln (y^2+1)) j+(z^2+ln (z^2+1)) k particula
Para movimentar uma partícula ao longo de toda a curva C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial F ao movimentar uma partícula ao longo de uma curva C. Essa curva C está delimitando uma superfície plana S no plano z=1 com área igual a 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao longo de C com a integral de superfície do rotacional de F sobre S. Então, vamos precisar calcular o rotacional de F e depois integrar isso sobre a superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F dado no exercício:
F(x, y, z) = (e^x^2 + 1 + y) i + (3x - 2 ln (y^2 + 1)) j + (z^2 + ln (z^2 + 1)) k
Agora, vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • partial Fzpartial y = partialpartial y(z^2 + ln(z^2 + 1)) = 0 (pois não há y em Fz)
  • partial Fypartial z = partialpartial z(3x - 2 ln(y^2 + 1)) = 0 (pois não há z em Fy)
  • partial Fxpartial z = partialpartial z(e^x^2 + 1 + y) = 0 (pois não há z em Fx)
  • partial Fzpartial x = partialpartial x(z^2 + ln(z^2 + 1)) = 0 (pois não há x em Fz)
  • partial Fypartial x = partialpartial x(3x - 2 ln(y^2 + 1)) = 3
  • partial Fxpartial y = partialpartial y(e^x^2 + 1 + y) = 1
Então, o rotacional fica:
nabla times F = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (3 - 1)k = 2k

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S. Como S está no plano z=1 e tem área igual a 2, podemos considerar que S é um retângulo ou uma forma que encontre essa área. Para simplificar, vamos assumir que S é um círculo com área 2. A área de um círculo é pi r^2, então:
pi r^2 = 2 implies r = raiz2pi
A normal à superfície S no plano z=1 é k (para cima), já que a orientação é anti-horária vista de cima.

Passo 4

Vamos calcular a integral de superfície do rotacional de F sobre S:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Sabemos que nabla times F = 2k e n = k, então:
(nabla times F) cdot n = 2k cdot k = 2
Agora, multiplicamos isso pela área de S:
integral duplaS 2 , dS = 2 times 2 = 4

Resposta

O trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C é igual a 4 unidades de trabalho.

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