Seja
uma superfície plana de área 2, contida no plano
, delimitada por uma curva simples fechada
, diferenciável por partes e orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Use o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo
Para movimentar uma partícula ao longo de toda a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao movimentar uma partícula ao longo de uma curva
. Essa curva
está delimitando uma superfície plana
no plano
com área igual a 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao longo de
com a integral de superfície do rotacional de
sobre
. Então, vamos precisar calcular o rotacional de
e depois integrar isso sobre a superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
dado no exercício:
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
(pois não há em ) -
(pois não há em ) -
(pois não há em ) -
(pois não há em ) -
-
Então, o rotacional fica:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Como
está no plano
e tem área igual a 2, podemos considerar que
é um retângulo ou uma forma que encontre essa área. Para simplificar, vamos assumir que
é um círculo com área 2. A área de um círculo é
, então:
A normal à superfície
no plano
é
(para cima), já que a orientação é anti-horária vista de cima.
Passo 4
Vamos calcular a integral de superfície do rotacional de
sobre
:
Sabemos que
e
, então:
Agora, multiplicamos isso pela área de
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
ao longo da curva
é igual a 4 unidades de trabalho.