Sabendo que o comprimento de uma curva C é dada por
, calcule o comprimento da curva
interseção da esfera
com o cone
, tendo primeiro dado a sua parametrização.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva $ C $, que é a interseção entre uma esfera e um cone. Especificamente, a esfera é dada por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ e o cone por $ z = \sqrt{3(x^{2} + y^{2})} $. Para isso, vamos precisar parametrizar essa curva $ C $ e depois usar a fórmula do comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma parametrização para a curva $ C $. Sabemos que a curva é onde a esfera e o cone se encontram. Então, vamos resolver as duas equações juntas.
A equação do cone é:
Podemos reescrever isso ao quadrado para facilitar:
Agora, substituímos $ z^{2} $ na equação da esfera:
Isso nos mostra que a interseção ocorre em um círculo de raio 1 no plano $ z $. Sabendo disso, podemos usar coordenadas paramétricas para um círculo. Vamos parametrizar $ x $ e $ y $ usando um ângulo $ \theta $:
Agora, substituímos $ x $ e $ y $ na equação do cone para encontrar $ z $:
Portanto, a parametrização da curva $ C $ é:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 3
Agora que temos a parametrização da curva $ C $, podemos calcular o comprimento dela usando a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
Onde $ \mathbf{r}(\theta) = (x(\theta), y(\theta), z(\theta)) $ e $ \mathbf{r}’(\theta) $ é a derivada da parametrização em relação a $ \theta $.
Vamos encontrar as derivadas das funções paramétricas:
Agora, calculamos a norma do vetor derivada:
Então, o comprimento da curva é:
Resposta
O comprimento da curva $ C $ é $ 2\pi $ unidades.