Calcule a integral
integral0^5 integral0^raiz25-x^2 integral0^raiz25-x^2-y^2 11+x^2+y^2+z^2 d z d y d x
Resp. pi2(5-arctan (5)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^5integral0^raiz25-x^2integral0^raiz25-x^2-y^211+x^2+y^2+z^2,dz,dy,dx
Aqui o conteúdo principal é integral tripla em uma região do espaço, e vamos usar coordenadas esféricas para simplificar, pois a região é parte de uma esfera de raio 5.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração. As variáveis vão de
0<= x<=5, 0<= y<=raiz25-x^2, 0<= z<=raiz25-x^2-y^2,
ou seja, (x,y,z) está dentro da esfera x^2+y^2+z^2<=25 e em que x,y,z>=0. Isso é exatamente o primeiro octante da esfera de raio 5.

Passo 3

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, 0<=phi<=pi (ângulo polar) e 0<=theta<2pi (ângulo azimutal). No nosso caso, como x,y,z>=0, os ângulos variam em
0<=theta<=pi2, 0<=phi<=pi2, 0<=rho<=5
O elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta,
e a função integranda 11+x^2+y^2+z^2 vira 11+rho^2.

Passo 4

Substituindo na integral,
integral0^5integral0^pi/2integral0^pi/2rho^2sinphi1+rho^2,dtheta,dphi,drho
As integrais angulares se separam:
integral0^pi/2dtheta=pi2, integral0^pi/2sinphi,dphi=l[-cosphir]0^pi/2=1
Logo sobra
pi2integral0^5rho^21+rho^2,drho

Passo 5

Para calcular
integral0^5rho^21+rho^2,drho
fazemos a divisão rho^2/(1+rho^2)=1-1/(1+rho^2). Assim,
integral0^5l(1-11+rho^2r),drho =l[rho-arctanrhor]0^5 =5-arctan(5)

Passo 6

Multiplicando pelo fator angular pi/2, a integral total é
pi2l(5-arctan(5)r)

Resposta

pi2l(5-arctan(5)r)

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