Calcule a integral
Resp.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Aqui o conteúdo principal é integral tripla em uma região do espaço, e vamos usar coordenadas esféricas para simplificar, pois a região é parte de uma esfera de raio
.
Passo 2
Vamos descrever a região de integração. As variáveis vão de
ou seja,
está dentro da esfera
e em que
. Isso é exatamente o primeiro octante da esfera de raio
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas usamos
com
,
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). No nosso caso, como
, os ângulos variam em
O elemento de volume é
e a função integranda
vira
.
Passo 4
Substituindo na integral,
As integrais angulares se separam:
Logo sobra
Passo 5
Para calcular
fazemos a divisão
. Assim,
Passo 6
Multiplicando pelo fator angular
, a integral total é