Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelos paraboloides z=3 x^2+3 y^2 e z=4-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos paraboloides
z = 3x^2 + 3y^2
e
z = 4 - x^2 - y^2
usando coordenadas polares. Vamos projetar a região no plano xy e escrever o volume como uma integral dupla em polares.

Passo 2

Para encontrar a região de projeção, igualamos as duas superfícies:
3(x^2+y^2) ;=; 4 - (x^2+y^2)
ou seja
4(x^2+y^2) = 4 Longrightarrow x^2+y^2 = 1
Em coordenadas polares isso dá r^2=1, logo 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

O volume é
V = integral duplaproj l(ztopo - zfundor),dA = integral0^2pi!integral0^1l[(4 - r^2) - 3r^2r],r,dr,dtheta
Aqui (4 - r^2) vem do paraboloide de cima, 3r^2 do de baixo, e r,dr,dtheta é o jacobiano.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^1l(4r - 4r^3r),dr = l[2r^2 - r^4r]0^1 = 2 - 1 = 1

Passo 5

Agora a integral em theta:
V = integral0^2pi 1,dtheta = 2pi

Resposta

O volume do sólido é ,2pi.

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