Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelos paraboloides
.
Limitado pelos paraboloides
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos paraboloides
e
usando coordenadas polares. Vamos projetar a região no plano
e escrever o volume como uma integral dupla em polares.
Passo 2
Para encontrar a região de projeção, igualamos as duas superfícies:
ou seja
Em coordenadas polares isso dá
, logo
e
.
Passo 3
O volume é
Aqui
vem do paraboloide de cima,
do de baixo, e
é o jacobiano.
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 5
Agora a integral em
:
Resposta
O volume do sólido é
.