Determine as derivadas parciais indicadas
f(x, y, z)=cos (4 x+3 y+2 z), fx y z e fy z z

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem fxyz e fyzz da função
f(x,y,z)=cos(4x+3y+2z)
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais de múltiplas variáveis.

Passo 2

Definimos
u = 4x + 3y + 2z,
de modo que
f(x,y,z)=cos(u)
Pela regra da cadeia, as primeiras derivadas são
partial fpartial x = -sin(u),partial upartial x = -sin(u)cdot 4 = -4sin(4x+3y+2z),
partial fpartial y = -sin(u),partial upartial y = -sin(u)cdot 3 = -3sin(4x+3y+2z)

Passo 3

Agora calculamos fxy e fxyz. Primeiro,
fxy = partialpartial yl(-4sin(u)r) = -4cos(u),partial upartial y = -4cos(u)cdot 3 = -12cos(4x+3y+2z)
Em seguida,
fxyz = partialpartial zl(-12cos(u)r) = -12l(-sin(u)r),partial upartial z = 12sin(u)cdot 2 = 24sin(4x+3y+2z)

Passo 4

Por fim, calculamos fyz e fyzz. Primeiro,
fyz = partialpartial zl(-3sin(u)r) = -3cos(u),partial upartial z = -3cos(u)cdot 2 = -6cos(4x+3y+2z)
Depois,
fyzz = partialpartial zl(-6cos(u)r) = -6l(-sin(u)r),partial upartial z = 6sin(u)cdot 2 = 12sin(4x+3y+2z)

Resposta

fxyz(x,y,z) = 24sin(4x+3y+2z)
fyzz(x,y,z) = 12sin(4x+3y+2z)

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