Parametrize a superfície S obtida girando-se o círculo (x-a)^2+z^2=b^2, 0, em torno de O z e encontre um vetor normal a S em cada ponto, utilizando-se esta parametrização.

Passo 1

O exercício pede para parametrizar a superfície S obtida ao girar o círculo (x−a)²+z²=b² em torno do eixo Oz e, usando essa parametrização, obter um vetor normal em cada ponto. O conteúdo envolve superfícies de revolução e o uso do produto vetorial para encontrar normais.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos o círculo no plano xz. Tomamos um parâmetro u∈[0,2π] e escrevemos as coordenadas do círculo como x=a + b
cos
u e z=b
sin
u, com y=0.
Em seguida, giramos esse círculo em torno do eixo z usando um segundo parâmetro v∈[0,2π]. A rotação de um ponto (x,0,z) em torno de Oz por um ângulo v leva a (x
cos
v, x
sin
v, z). Assim definimos a parametrização r(u,v) de S.

Passo 3

Para encontrar um vetor normal basta calcular as derivadas parciais r_u=∂r/∂u e r_v=∂r/∂v e usar o produto vetorial r_u×r_v. Esse procedimento garante um vetor perpendicular à superfície.
Ao executar r_u×r_v obtemos (até sinal) um múltiplo de (cos
ucos
v, cos
usin
v, sin
u). Esse vetor (ou seu oposto) é normal a S em cada ponto parametrizado.

Resposta

A parametrização de S é
r(u,v)=l((a + bcos u)cos v,;(a + bcos u)sin v,;bsin ur), 0<= u,v<= 2pi
Um vetor normal (não unitário) é dado por
n(u,v)=rutimes rv=-b,(a + bcos u)l(cos ucos v,;cos usin v,;sin ur)
Em particular, a direção normal unitária é
n(u,v)=(cos ucos v,;cos usin v,;sin u)

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