Parametrize a superfície
obtida girando-se o círculo
, em torno de
e encontre um vetor normal a
em cada ponto, utilizando-se esta parametrização.
Passo 1
O exercício pede para parametrizar a superfície S obtida ao girar o círculo (x−a)²+z²=b² em torno do eixo Oz e, usando essa parametrização, obter um vetor normal em cada ponto. O conteúdo envolve superfícies de revolução e o uso do produto vetorial para encontrar normais.
Passo 2
Primeiro, parametrizamos o círculo no plano xz. Tomamos um parâmetro u∈[0,2π] e escrevemos as coordenadas do círculo como x=a + b
cos
u e z=b
sin
u, com y=0.
Em seguida, giramos esse círculo em torno do eixo z usando um segundo parâmetro v∈[0,2π]. A rotação de um ponto (x,0,z) em torno de Oz por um ângulo v leva a (x
cos
v, x
sin
v, z). Assim definimos a parametrização r(u,v) de S.
cos
u e z=b
sin
u, com y=0.
Em seguida, giramos esse círculo em torno do eixo z usando um segundo parâmetro v∈[0,2π]. A rotação de um ponto (x,0,z) em torno de Oz por um ângulo v leva a (x
cos
v, x
sin
v, z). Assim definimos a parametrização r(u,v) de S.
Passo 3
Para encontrar um vetor normal basta calcular as derivadas parciais r_u=∂r/∂u e r_v=∂r/∂v e usar o produto vetorial r_u×r_v. Esse procedimento garante um vetor perpendicular à superfície.
Ao executar r_u×r_v obtemos (até sinal) um múltiplo de (cos
ucos
v, cos
usin
v, sin
u). Esse vetor (ou seu oposto) é normal a S em cada ponto parametrizado.
Ao executar r_u×r_v obtemos (até sinal) um múltiplo de (cos
ucos
v, cos
usin
v, sin
u). Esse vetor (ou seu oposto) é normal a S em cada ponto parametrizado.
Resposta
A parametrização de S é
Um vetor normal (não unitário) é dado por
Em particular, a direção normal unitária é