Calcule a integral
integral0^2(9 t i-t^3 j+3 t^5 k) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral vetorial que foi proposto. O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial definida de 0 a 2 em relação a $ t $. Vamos trabalhar com componentes $ \mathbf{i} $, $ \mathbf{j} $ e $ \mathbf{k} $. Para resolver isso, vamos integrar cada componente da função separadamente usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente $ \mathbf{i} $, que é $ 9t $. A gente precisa encontrar a integral de $ 9t $ em relação a $ t $.
A integral de $ t^n $ é $ \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $. Nesse caso, $ n = 1 $, então:
i

Passo 3

Agora, vamos para a componente $ \mathbf{j} $, que é $ -t^{3} $. Vamos integrar $ -t^{3} $ em relação a $ t $:
j

Passo 4

Por último, temos a componente $ \mathbf{k} $, que é $ 3t^{5} $. Vamos integrar $ 3t^{5} $ em relação a $ t $:
k

Passo 5

Agora que temos as integrais de cada componente, vamos aplicar os limites de integração, que são de 0 a 2.
Para $ \mathbf{i} $:
i
Para $ \mathbf{j} $:
92 t^2 |0^2 = 92 (2)^2 - 92 (0)^2 = 92 times 4 = 18
Para $ \mathbf{k} $:
j

Resposta

A integral calculada resulta no vetor:
18, i - 4, j + 32, k

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