Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral vetorial que foi proposto. O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial definida de 0 a 2 em relação a $ t $. Vamos trabalhar com componentes $ \mathbf{i} $, $ \mathbf{j} $ e $ \mathbf{k} $. Para resolver isso, vamos integrar cada componente da função separadamente usando cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente $ \mathbf{i} $, que é $ 9t $. A gente precisa encontrar a integral de $ 9t $ em relação a $ t $.
A integral de $ t^n $ é $ \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $. Nesse caso, $ n = 1 $, então:
Passo 3
Agora, vamos para a componente $ \mathbf{j} $, que é $ -t^{3} $. Vamos integrar $ -t^{3} $ em relação a $ t $:
Passo 4
Por último, temos a componente $ \mathbf{k} $, que é $ 3t^{5} $. Vamos integrar $ 3t^{5} $ em relação a $ t $:
Passo 5
Agora que temos as integrais de cada componente, vamos aplicar os limites de integração, que são de 0 a 2.
Para $ \mathbf{i} $:
Para $ \mathbf{j} $:
Para $ \mathbf{k} $:
Resposta
A integral calculada resulta no vetor: