a) f(x, y)=x^3 y^2-2 x^2 y+3 x R : fx x=6 x y^2-4 y ; fy y=2 x^3 ; fx y=fy x=6 x^2 y-4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=x^3y^2-2x^2y+3x. Vamos precisar usar as regras de derivação parcial em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x e, em seguida, derivamos esse resultado novamente em relação a x:
fx=partialpartial x(x^3y^2-2x^2y+3x)=3x^2y^2-4xy+3
Derivando mais uma vez em x:
fxx=partialpartial x(3x^2y^2-4xy+3)=6xy^2-4y

Passo 3

Agora derivamos f em relação a y e, depois, novamente em y:
fy=partialpartial y(x^3y^2-2x^2y+3x)=2x^3y-2x^2
Derivando outra vez em y:
fyy=partialpartial y(2x^3y-2x^2)=2x^3

Passo 4

Para a derivada mista, derivamos fx em relação a y (ou fy em relação a x, dá o mesmo resultado):
fxy=partialpartial y(3x^2y^2-4xy+3)=6x^2y-4x
Como as derivadas mistas são iguais, confirmamos que fxy=fyx=6x^2y-4x.

Resposta

f_{xx}=6xy^2-4y,; f_{yy}=2x^3,; f_{xy}=f_{yx}=6x^2y-4x

Exercícios relacionados