Calcule a integral
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é calcular a integral definida de
de 0 a 1. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica pra resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. É tipo uma regra para transformar a integral de um produto de funções em outra forma mais fácil de resolver. A fórmula é:
Então, vamos escolher o que vai ser
e o que vai ser
na nossa integral.
Passo 3
Vamos definir:
-
. Isso porque a derivada de é mais simples. -
. Assim, é fácil integrar para encontrar .
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
, temos:
- Integrando
, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo nossos valores:
Passo 5
Ficou aí a integral
. Vamos resolver isso agora. Podemos usar uma substituição simples:
- Seja
, então . - Isso significa que
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Passo 7
Agora, vamos calcular isso de 0 a 1:
Para :
Para
Para
:
Então, a integral definida é:
Resposta
A integral
é igual a
.