Calcule a integral
integral0^1 tan ^-1(x) d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é calcular a integral definida de tan^-1(x) de 0 a 1. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica pra resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. É tipo uma regra para transformar a integral de um produto de funções em outra forma mais fácil de resolver. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Então, vamos escolher o que vai ser u e o que vai ser dv na nossa integral.

Passo 3

Vamos definir:
  • u = tan^-1(x). Isso porque a derivada de tan^-1(x) é mais simples.
  • dv = dx. Assim, é fácil integrar dv para encontrar v.
Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u, temos:
du = 11 + x^2 , dx
  • Integrando dv, temos:
v = integral dx = x

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral tan^-1(x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo nossos valores:
integral tan^-1(x) , dx = x cdot tan^-1(x) - integral x cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Ficou aí a integral integral x1 + x^2 , dx. Vamos resolver isso agora. Podemos usar uma substituição simples:
  • Seja w = 1 + x^2, então dw = 2x , dx.
  • Isso significa que dw2 = x , dx.
Então, a integral fica:
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C = 12 ln(1 + x^2) + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral tan^-1(x) , dx = x cdot tan^-1(x) - 12 ln(1 + x^2) + C

Passo 7

Agora, vamos calcular isso de 0 a 1:
Para x = 1:
1 cdot tan^-1(1) - 12 ln(1 + 1^2) = pi4 - 12 ln 2
Para x = 0:
0 cdot tan^-1(0) - 12 ln(1 + 0^2) = 0 - 0 = 0
Então, a integral definida é:
( pi4 - 12 ln 2 ) - 0 = pi4 - 12 ln 2

Resposta

A integral integral0^1 tan^-1(x) , dx é igual a dfracpi4 - dfrac12 ln 2.

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