Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de $ |x| $ de -1 a 1 e interpretar isso como a área de uma região. Então, vamos trabalhar com cálculo integral e geometria básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ |x| $. O valor absoluto de $ x $ é simplesmente $ x $ se $ x $ for positivo e $ -x $ se for negativo. Isso é importante porque a integral de $ |x| $ vai depender do sinal de $ x $ no intervalo de -1 a 1.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 1. Assim:
Na primeira parte, $ |x| = -x $ porque $ x $ é negativo. Na segunda parte, $ |x| = x $ porque $ x $ é positivo.
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a de -1 a 0:
Passo 5
Agora, a integral de 0 a 1:
Passo 6
Somando as duas partes:
Resposta
A integral vale $ 1 $. Isso representa a área da região entre o gráfico de $ |x| $, o eixo $ x $, e os limites de -1 a 1. O esboço é um V simétrico em relação à origem, com vértice em (0,0) e interceptando o eixo $ x $ em (-1,1) e (1,1).