Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
integral-1^1|x| d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de $ |x| $ de -1 a 1 e interpretar isso como a área de uma região. Então, vamos trabalhar com cálculo integral e geometria básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ |x| $. O valor absoluto de $ x $ é simplesmente $ x $ se $ x $ for positivo e $ -x $ se for negativo. Isso é importante porque a integral de $ |x| $ vai depender do sinal de $ x $ no intervalo de -1 a 1.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 1. Assim:
integral-1^1 |x| , dx = integral-1^0 -x , dx + integral0^1 x , dx
Na primeira parte, $ |x| = -x $ porque $ x $ é negativo. Na segunda parte, $ |x| = x $ porque $ x $ é positivo.

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a de -1 a 0:
integral-1^0 -x , dx = [ -x^22 ]-1^0 = ( -0^22 ) - ( -(-1)^22 ) = 0 - ( -12 ) = 12

Passo 5

Agora, a integral de 0 a 1:
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12

Passo 6

Somando as duas partes:
12 + 12 = 1

Resposta

A integral vale $ 1 $. Isso representa a área da região entre o gráfico de $ |x| $, o eixo $ x $, e os limites de -1 a 1. O esboço é um V simétrico em relação à origem, com vértice em (0,0) e interceptando o eixo $ x $ em (-1,1) e (1,1).

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