Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
integral0^2 pi|sen(x)| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^2pi|sin(x)|,dx, interpretar esse valor como a área sob a curva y=|sin(x)| no intervalo [0,2pi] e esboçar a região correspondente. O conteúdo envolve tratamento de valor absoluto em integrais e interpretação geométrica de área.

Passo 2

Identificamos os pontos em que sin(x)=0 no intervalo [0,2pi], pois aí muda o sinal de sin(x). Esses pontos são x=0, x=pi e x=2pi. Vamos dividir a integral em dois trechos onde sin(x) mantém sinal definido.
Em [0,pi] temos sin(x)>=0, então |sin(x)|=sin(x). Em [pi,2pi] temos sin(x)<=0, então |sin(x)|=-sin(x). Assim,
integral0^2pi|sin(x)|,dx = integral0^pisin(x),dx + integralpi^2pi(-sin(x)),dx

Passo 3

Agora calculamos cada integral. Para integralsin(x),dx sabemos que uma primitiva é -cos(x). Logo:
integral0^pisin(x),dx = l[-cos(x)r]0^pi = [-cos(pi)] - [-cos(0)] = -(-1) - [-(1)] = 1 + 1 = 2

Passo 4

Para integralpi^2pi(-sin(x)),dx = -integralpi^2pisin(x),dx, temos:
integralpi^2pisin(x),dx = l[-cos(x)r]pi^2pi = [-cos(2pi)] - [-cos(pi)] = -(1) - -(-1) = -1 - 1 = -2

Passo 5

Portanto
integralpi^2pi(-sin(x)),dx = -(-2) = 2

Passo 6

Somando os resultados:
integral0^2pi|sin(x)|,dx = 2 + 2 = 4

Passo 7

Interpretando geometricamente, isso corresponde à área sob a curva y=|sin(x)| entre x=0 e x=2pi, que são duas cristas idênticas de altura máxima 1. Para esboçar, basta desenhar o gráfico de y=|sin(x)| produzindo dois arcos de seno positivos (um no intervalo [0,pi] e outro em [pi,2pi]).

Resposta

4

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