Calcule a integral.
integral0^1 x-1x^2+2 x+2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral0^1 x-1x^2+2x+2,dx. O conteúdo envolvido é integração de função racional cujo denominador é um quadrado perfeito acrescido de constante, e vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar decomposição para separar em termos de derivada de logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador. Observamos que
x^2+2x+2 = (x+1)^2+1
Em seguida, decompondo o numerador como combinação da derivada do denominador mais termo constante, escrevemos
x-1 = A,(2x+2) + B
Igualando coeficientes, obtemos 2A=1 e 2A+B=-1, o que dá A=tfrac12 e B=-2.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral x-1x^2+2x+2,dx = 12 integral 2x+2(x+1)^2+1,dx - 2 integral 1(x+1)^2+1,dx
Aqui usamos que a derivada de $ (x+1)^{2}+1 $ é (x+1)^2+1 , e que 2x+2 e integral duu = ln|u|.

Passo 4

Calculando as antiderivadas:
12 integral 2x+2(x+1)^2+1,dx = 12 lnl((x+1)^2+1r),
-2 integral 1(x+1)^2+1,dx = -2arctan(x+1)
Assim, uma primitiva é
F(x) = 12 lnl(x^2+2x+2r) - 2arctan(x+1)

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
Em x=1:
F(1) = 12 ln(5) - 2arctan(2)
Em x=0:
F(0) = 12 ln(2) - 2arctan(1) = 12 ln(2) - 2cdotpi4 = 12 ln(2) - pi2
Subtraindo, obtemos
integral0^1 x-1x^2+2x+2,dx = F(1)-F(0) = 12ln52 -2arctan(2) + pi2

Resposta

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