Calcule a integral.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral definida
. O conteúdo envolvido é integração de função racional cujo denominador é um quadrado perfeito acrescido de constante, e vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar decomposição para separar em termos de derivada de logaritmo e arco-tangente.
Passo 2
Começamos completando o quadrado no denominador. Observamos que
Em seguida, decompondo o numerador como combinação da derivada do denominador mais termo constante, escrevemos
Igualando coeficientes, obtemos
e
, o que dá
e
.
Passo 3
Substituindo na integral, temos
Aqui usamos que a derivada de $ (x+1)^{2}+1 $ é
, e que
e
.
Passo 4
Calculando as antiderivadas:
Assim, uma primitiva é
Passo 5
Agora avaliamos de 0 a 1:
Em :
Em
Em
:
Subtraindo, obtemos