Calcule a integral
integral0^2(2 x-3)(4 x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2(2x-3)(4x^2+1),dx
Aqui vamos usar o método de expandir o integrando em soma de monômios e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro expandimos o produto
(2x-3)(4x^2+1) =2xcdot4x^2+2xcdot1-3cdot4x^2-3cdot1 =8x^3-12x^2+2x-3

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente. Se
f(x)=8x^3-12x^2+2x-3,
então uma primitiva F(x) é
F(x)=integral f(x),dx =2x^4-4x^3+x^2-3x,
pois
ddx(2x^4)=8x^3, ddx(-4x^3)=-12x^2, ddx(x^2)=2x, ddx(-3x)=-3

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo nos limites de 0 a 2:
integral0^2f(x),dx =F(2)-F(0)
Calculando
F(2)=2cdot2^4-4cdot2^3+2^2-3cdot2 =32-32+4-6=-2,
e
F(0)=0
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integral0^2(2x-3)(4x^2+1),dx=-2

Resposta

-2

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