Exercício 3 (E.M.1.4)
Seja ( M, d ) um espaço métrico. Mostre que d1: M times M [0, infty[, d2: M times M [0, infty[ e d3: M times M [0, infty[ são métricas de M, em que
d1(x, y)=d(x, y)1+d(x, y) d2(x, y)=raizd(x, y) d3(x, y)=min 1, d(x, y)

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço métrico (M,d) e define três funções
d1(x,y)=d(x,y)1+d(x,y), d2(x,y)=raizd(x,y), d3(x,y)=min1,d(x,y)
Queremos mostrar que cada dicolon Mtimes Mto[0,infty[ satisfaz os quatro axiomas de métrica em M:
1. Não-negatividade e definitude ( di(x,y)>=0 e di(x,y)=0iff x=y).
2. Simetria ( di(x,y)=di(y,x)).
3. Desigualdade triangular ( di(x,z)<= di(x,y)+di(y,z)).

Passo 2

Verificação para d1:
1. Não-negatividade e definitude: como d(x,y)>=0, temos d(x,y)1+d(x,y)>=0; e d(x,y)1+d(x,y)=0 ocorre exatamente quando d(x,y)=0, i.e.\ x=y.
2. Simetria: segue de d(x,y)=d(y,x).

Passo 3

Desigualdade triangular de d1. Seja s=d(x,y) e t=d(y,z). Como d(x,z)<= s+t e a função
f(u)=u1+u
é estritamente crescente em [0,infty[, temos
d1(x,z) =fl(d(x,z)r)<= f(s+t) =s+t1+s+t
Basta mostrar que
s+t1+s+t<=s1+s+t1+t
Multiplicando ambos os lados por (1+s)(1+t)(1+s+t)>0 e reorganizando, chega-se à desigualdade
st(2+s+t)>=0,
que é óbvia. Portanto
d1(x,z)<= d1(x,y)+d1(y,z)

Passo 4

Verificação para d2:
1. Não-negatividade e definitude: raizd(x,y)>=0, e vale zero sse d(x,y)=0, i.e.\ x=y.
2. Simetria: clara pela simetria de d.
3. Desigualdade triangular: usando que para a,b>=0
raiza+b<=raiza+raizb,
tomamos a=d(x,y) e b=d(y,z) e obtemos
d2(x,z) =raizd(x,z) <=raizd(x,y)+d(y,z) <=raizd(x,y)+raizd(y,z) =d2(x,y)+d2(y,z)

Passo 5

Verificação para d3:
1. Não-negatividade e definitude: min1,d(x,y)>=0, e é zero sse d(x,y)=0, i.e.\ x=y.
2. Simetria: segue de d.
3. Desigualdade triangular: como d(x,z)<= d(x,y)+d(y,z),
d3(x,z) =min1,d(x,z) <=min1,d(x,y)+d(y,z)
Mas para quaisquer a,b>=0 vale
min1,a+b<=min1,a+min1,b,
o que dá
d3(x,z)<=min1,d(x,y)+min1,d(y,z) =d3(x,y)+d3(y,z)

Resposta

As três funções d1, d2 e d3 satisfazem todos os axiomas de métrica em M, logo são métricas em M.

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