Exercício 3 (E.M.1.4)
Seja (
) um espaço métrico. Mostre que
e
são métricas de
, em que
Seja (
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço métrico
e define três funções
Queremos mostrar que cada
satisfaz os quatro axiomas de métrica em
:
. Não-negatividade e definitude (
e
).
. Simetria (
).
. Desigualdade triangular (
).
Passo 2
Verificação para
:
. Não-negatividade e definitude: como
, temos
; e
ocorre exatamente quando
, i.e.\
.
. Simetria: segue de
.
Passo 3
Desigualdade triangular de
. Seja
e
. Como
e a função
é estritamente crescente em
, temos
Basta mostrar que
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, chega-se à desigualdade
que é óbvia. Portanto
Passo 4
Verificação para
:
. Não-negatividade e definitude:
, e vale zero sse
, i.e.\
.
. Simetria: clara pela simetria de
.
. Desigualdade triangular: usando que para
tomamos
e
e obtemos
Passo 5
Verificação para
:
. Não-negatividade e definitude:
, e é zero sse
, i.e.\
.
. Simetria: segue de
.
. Desigualdade triangular: como
,
Mas para quaisquer
vale
o que dá
Resposta
As três funções
,
e
satisfazem todos os axiomas de métrica em
, logo são métricas em
.