Calcule a integral integral0^1 x^5(1-x^2)^7 d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral0^1 x^5(1-x^2)^7 dx. Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com potências e funções compostas. Para resolver, vamos precisar utilizar a expansão binomial e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (1 - x^2)^7 usando o binômio de Newton. A fórmula do binômio de Newton é:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Aplicando isso, temos:
(1 - x^2)^7 = sumk=0^7 binom7k (1)^7-k (-x^2)^k = sumk=0^7 (-1)^k binom7k x^2k

Passo 3

Agora, substituímos a expansão na integral original:
integral0^1 x^5 (1 - x^2)^7 dx = integral0^1 x^5 ( sumk=0^7 (-1)^k binom7k x^2k ) dx
Podemos trocar a ordem da soma e da integral:
= sumk=0^7 (-1)^k binom7k integral0^1 x^5 + 2k dx

Passo 4

Calculamos a integral de x^5 + 2k:
integral x^5 + 2k dx = x^6 + 2k6 + 2k + C
Avaliada de 0 a 1:
x^6 + 2k6 + 2k |0^1 = 16 + 2k - 0 = 16 + 2k

Passo 5

Substituímos de volta na soma:
sumk=0^7 (-1)^k binom7k cdot 16 + 2k
Podemos simplificar a expressão dividindo o denominador por 2:
= 12 sumk=0^7 (-1)^k binom7k3 + k

Passo 6

Agora, calculamos cada termo da soma separadamente:
k=0: & (-1)^0 binom703 + 0 = 1 cdot 13 = 13 k=1: & (-1)^1 binom713 + 1 = -74 k=2: & (-1)^2 binom723 + 2 = 215 k=3: & (-1)^3 binom733 + 3 = -356 k=4: & (-1)^4 binom743 + 4 = 357 = 5 k=5: & (-1)^5 binom753 + 5 = -218 k=6: & (-1)^6 binom763 + 6 = 79 k=7: & (-1)^7 binom773 + 7 = -110

Passo 7

Somando todos os termos:
13 - 74 + 215 - 356 + 5 - 218 + 79 - 110
Calculando cada parte e somando:
approx 0,3333 - 1,75 + 4,2 - 5,8333 + 5 - 2,625 + 0,7778 - 0,1 = 0,3333 - 1,75 = -1,4167 -1,4167 + 4,2 = 2,7833 2,7833 - 5,8333 = -3,05 -3,05 + 5 = 1,95 1,95 - 2,625 = -0,675 -0,675 + 0,7778 = 0,1028 0,1028 - 0,1 = 0,0028

Resposta

Portanto, a integral integral0^1 x^5(1-x^2)^7 dx é aproximadamente 0,0028.

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