Calcule a integral
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de $ x{2}(x{3} - 2)^{5} $ de 0 a 1. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a integral usando uma troca de variável que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, dentro da integral temos $ (x^{3} - 2)^{5} $ e também $ x^{2} $. Percebe que a derivada de $ x^{3} - 2 $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $, que é bem parecido com o $ x^{2} $ que temos na frente. Isso sugere que podemos usar a substituição u.
Passo 3
Vamos definir nossa substituição:
Agora, precisamos encontrar $ du $, que é a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Ou seja,
Isso significa que $ x^{2} dx = \frac{du}{3} $. Vamos substituir isso na nossa integral.
Passo 4
Substituindo na integral original:
Aqui, mudamos os limites de integração também. Vamos calcular $ u(0) $ e $ u(1) $:
- Quando $ x = 0 $:
- Quando $ x = 1 $:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ u^{5} $ em relação a $ u $:
Como estamos lidando com uma integral definida, a constante $ C $ não precisa ser considerada. Então:
Passo 6
Vamos calcular $ u^{6} $ nos limites de integração:
- Para $ u = -1 $:
- Para $ u = -2 $:
Substituindo:
Passo 7
Simplificando a fração:
Resposta
O valor da integral é $ -\frac{7}{2} $.