Calcule a integral integral0^1 x^2(x^3-2)^5 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de $ x{2}(x{3} - 2)^{5} $ de 0 a 1. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a integral usando uma troca de variável que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, dentro da integral temos $ (x^{3} - 2)^{5} $ e também $ x^{2} $. Percebe que a derivada de $ x^{3} - 2 $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $, que é bem parecido com o $ x^{2} $ que temos na frente. Isso sugere que podemos usar a substituição u.

Passo 3

Vamos definir nossa substituição:
u = x^3 - 2
Agora, precisamos encontrar $ du $, que é a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
du
Ou seja,
u
Isso significa que $ x^{2} dx = \frac{du}{3} $. Vamos substituir isso na nossa integral.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral0^1 x^2(x^3 - 2)^5 dx = integralu(0)^u(1) 13 u^5 du
Aqui, mudamos os limites de integração também. Vamos calcular $ u(0) $ e $ u(1) $:
- Quando $ x = 0 $:
u(0)
  • Quando $ x = 1 $:
u(1)
Então, nossa integral fica:
x = 0

Passo 5

Agora, vamos integrar $ u^{5} $ em relação a $ u $:
u^5
Como estamos lidando com uma integral definida, a constante $ C $ não precisa ser considerada. Então:
u

Passo 6

Vamos calcular $ u^{6} $ nos limites de integração:
  • Para $ u = -1 $:
u^6
- Para $ u = -2 $:
u = -1
Substituindo:
(-1)^6 = 1

Passo 7

Simplificando a fração:
-6318 = -72

Resposta

O valor da integral é $ -\frac{7}{2} $.

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