(2.0 pontos) Dado a função
use a definição de derivada para determinar a função
. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é
.
Passo 1
A questão pede para usar a definição de derivada (princípio de primeira‐princípios) para encontrar a função derivada de
e, em seguida, determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
. Vamos precisar conhecer a definição de derivada como limite do quociente incremental e a fórmula da reta tangente
.
Passo 2
Primeiro aplicamos a definição de derivada:
Passo 3
Para resolver esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando por sua conjugada:
$$
\frac{\sqrt{9-(x+h)}-\sqrt{9-x}}{h}\cdot
\frac{\sqrt{9-(x+h)}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(x+h)}+\sqrt{9-x}}
\frac{(9-(x+h))-(9-x)}{h\bigl(\sqrt{9-(x+h)}+\sqrt{9-x}\bigr)}
$$
Passo 4
No numerador temos
Passo 5
Logo o quociente fica
Passo 6
Agora tomamos
:
$$
f’(x)=-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}
f(0)=\sqrt{9-0}=3,
\quad f’(0)=-\frac{1}{2\sqrt{9}}=-\frac{1}{6}
\quad f’(0)=-\frac{1}{2\sqrt{9}}=-\frac{1}{6}
$$
Passo 7
A equação da reta tangente é dada por
, ou seja:
Resposta
y=3-\tfrac{x}{6}