(2.0 pontos) Dado a função
f(x)=raiz9-x
use a definição de derivada para determinar a função f^prime(x). Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto cuja abscissa é x=0.

Passo 1

A questão pede para usar a definição de derivada (princípio de primeira‐princípios) para encontrar a função derivada de f(x)=raiz9-x e, em seguida, determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=0. Vamos precisar conhecer a definição de derivada como limite do quociente incremental e a fórmula da reta tangente y - y0 = m(x - x0).

Passo 2

Primeiro aplicamos a definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h= limhto0raiz9-(x+h)-raiz9-xh

Passo 3

Para resolver esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando por sua conjugada:
$$
\frac{\sqrt{9-(x+h)}-\sqrt{9-x}}{h}\cdot
\frac{\sqrt{9-(x+h)}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(x+h)}+\sqrt{9-x}}

\frac{(9-(x+h))-(9-x)}{h\bigl(\sqrt{9-(x+h)}+\sqrt{9-x}\bigr)}
$$

Passo 4

No numerador temos
(9-(x+h))-(9-x)=-h

Passo 5

Logo o quociente fica
-hhl(raiz9-(x+h)+raiz9-xr)=-1raiz9-(x+h)+raiz9-x

Passo 6

Agora tomamos hto0:
$$
f’(x)=-\frac{1}{2\sqrt{9-x}} f'(x)=-12raiz9-xá
f(0)=\sqrt{9-0}=3,
\quad f’(0)=-\frac{1}{2\sqrt{9}}=-\frac{1}{6}
$$

Passo 7

A equação da reta tangente é dada por y - f(0)=f'(0)(x-0), ou seja:
y-3=-tfrac16x

Resposta

y=3-\tfrac{x}{6}

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