Calcule a integral
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de $ \int_{0}^{4} 2x \sqrt{9 + x^{2}} , dx $. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, e vamos precisar usar a técnica de substituição para facilitar a resolução. Basicamente, vamos encontrar uma forma de simplificar a expressão para integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que dentro da raiz temos $ 9 + x^{2} $. Vamos chamar isso de $ u $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir o diferencial $ dx $. Derivando ambos os lados:
Percebeu? O termo $ 2x , dx $ aparece exatamente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.
Passo 4
Vamos substituir $ u $ e $ du $ na nossa integral:
Mas precisamos ajustar os limites de integração porque mudamos a variável de $ x $ para $ u $.
Quando $ x = 0 $:
Quando $ x = 4 $:
Então, nossa integral transformada fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ \sqrt{u} $. Lembre-se que $ \sqrt{u} = u^{1/2} $, e a integral de $ u^{n} $ é $ \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $. Aplicando isso:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 9 a 25:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
A integral $ \int_{0}^{4} 2x \sqrt{9 + x^{2}} , dx $ é igual a $ \frac{196}{3} $.