Calcule a integral integral0^4 2 x raiz9+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de $ \int_{0}^{4} 2x \sqrt{9 + x^{2}} , dx $. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, e vamos precisar usar a técnica de substituição para facilitar a resolução. Basicamente, vamos encontrar uma forma de simplificar a expressão para integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que dentro da raiz temos $ 9 + x^{2} $. Vamos chamar isso de $ u $:
9 + x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir o diferencial $ dx $. Derivando ambos os lados:
u
Percebeu? O termo $ 2x , dx $ aparece exatamente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.

Passo 4

Vamos substituir $ u $ e $ du $ na nossa integral:
u
Mas precisamos ajustar os limites de integração porque mudamos a variável de $ x $ para $ u $.
Quando $ x = 0 $:
du
Quando $ x = 4 $:
integral0^4 2x raiz9 + x^2 , dx = integral raizu , du
Então, nossa integral transformada fica:
x

Passo 5

Agora, vamos integrar $ \sqrt{u} $. Lembre-se que $ \sqrt{u} = u^{1/2} $, e a integral de $ u^{n} $ é $ \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $. Aplicando isso:
raizu

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 9 a 25:
[ 23 u^3/2 ]9^25 = 23 (25)^3/2 - 23 (9)^3/2
Calculando cada termo:
25^3/2 = ( raiz25 )^3 = 5^3 = 125
9^3/2 = ( raiz9 )^3 = 3^3 = 27
Então:
23 times 125 - 23 times 27 = 2503 - 543 = 1963

Resposta

A integral $ \int_{0}^{4} 2x \sqrt{9 + x^{2}} , dx $ é igual a $ \frac{196}{3} $.

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