Calcule a integral
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de $ \frac{2x}{x^{2}+1} $ de 0 a 1. Isso está ligado ao assunto de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral para algo que a gente consiga resolver fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
Aqui, percebemos que o numerador $ 2x $ está relacionado com o denominador $ x^{2} + 1 $. Uma boa estratégia é usar substituição. Vamos definir uma nova variável $ u $ para simplificar a integral.
Escolhi $ u = x^{2} + 1 $ porque a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = 2x $, que aparece no numerador. Isso facilita a substituição.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ du $:
Observe que $ 2x , dx $ é exatamente o que temos no numerador da fração da nossa integral. Isso significa que podemos substituir toda a expressão em termos de $ u $.
Substituindo na integral:
Essa é uma forma muito mais simples de integrar!
Passo 4
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é $ \ln|u| + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular os limites.
Voltando para a variável original $ x $:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então simplificando:
Resposta
A integral $ \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^{2}+1} , dx $ é igual a $ \ln(2) $.