Calcule a integral integral0^1 2 xx^2+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de $ \frac{2x}{x^{2}+1} $ de 0 a 1. Isso está ligado ao assunto de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral para algo que a gente consiga resolver fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
integral0^1 2xx^2+1 , dx
Aqui, percebemos que o numerador $ 2x $ está relacionado com o denominador $ x^{2} + 1 $. Uma boa estratégia é usar substituição. Vamos definir uma nova variável $ u $ para simplificar a integral.
Escolhi $ u = x^{2} + 1 $ porque a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = 2x $, que aparece no numerador. Isso facilita a substituição.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ du $:
du
Observe que $ 2x , dx $ é exatamente o que temos no numerador da fração da nossa integral. Isso significa que podemos substituir toda a expressão em termos de $ u $.
Substituindo na integral:
du = 2x , dx
Essa é uma forma muito mais simples de integrar!

Passo 4

A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é $ \ln|u| + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular os limites.
Voltando para a variável original $ x $:
1u
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
u
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então simplificando:
ln|u| + C

Resposta

A integral $ \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^{2}+1} , dx $ é igual a $ \ln(2) $.

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