Calcule a integral
integral0^1 integral0^1-x raizx+y(y-2 x)^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
integral0^1integral0^1-xraizx+y,(y-2x)^2,dy,dx
O conteúdo principal é mudança de ordem de integração ou troca de variáveis para simplificar a região triangular 0<= x<=1, 0<= y<=1-x. Vamos usar a substituição
t = x + y
para integrar primeiro em x num domínio simples em (x,t).

Passo 2

Com t = x + y temos y = t - x e dy = dt. Quando y vai de 0 a 1-x, t vai de t=x a t=1. Logo
integral0^1!integral0^1-xraizx+y,(y-2x)^2,dy,dx = integral0^1!integralt=x^1raizt,l((t-x)-2xr)^2,dt,dx = integral0^1!integralx^1raizt,(t-3x)^2,dt,dx
Em seguida trocamos a ordem: para 0<= x<=1 e x<= t<=1 equivale a 0<= t<=1, 0<= x<= t. Assim
integral0^1!integralx^1raizt,(t-3x)^2,dt,dx = integral0^1raiztl(integral0^t(t-3x)^2,dxr),dt

Passo 3

Calcular
integral0^t(t-3x)^2,dx
Expandindo (t-3x)^2=9x^2-6tx + t^2 e integrando de 0 a t
integral0^t(9x^2-6tx + t^2),dx = 9t^33-6tt^22+t^2,t = 3t^3-3t^3+t^3 = t^3
Logo a integral torna-se
integral0^1raizt,t^3,dt = integral0^1t^7/2,dt

Passo 4

Avaliar
integral0^1t^7/2,dt = [t^9/2tfrac92]0^1 = 29,

Resposta

29

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