Diga se as seguintes equações diferenciais são lineares e justifique sua resposta:
y^{\prime}=y \operatorname{sen} x+e^{x}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
y' = y sin x + e^x
e pede para dizer se ela é linear. O conteúdo é classificação de equações diferenciais segundo a dependência em y e suas derivadas.

Passo 2

Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear se puder ser escrita na forma
a1(x),y' + a0(x),y = b(x)
onde a1,a0,b são funções conhecidas de x e aparecem somente multiplicando y ou y'. Vamos colocar a equação dada nessa forma. Partindo de
y' = y sin x + e^x
subtraímos ysin x dos dois lados, obtendo
y' - (sin x),y = e^x
Aqui temos a1(x)=1, a0(x)=-sin x e b(x)=e^x, todas funções apenas de x. Não há termos como y^2, sin y ou produtos não lineares em y.

Resposta

A equação diferencial é linear.

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