Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de $ (x - 1)(2x + 1) $ de 0 a 2. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente multiplicação de funções polinomiais e integração. Para resolver isso, vamos expandir os parênteses, integrar termo a termo e depois avaliar nos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir os parênteses para simplificar a expressão. Multiplicando $ (x - 1) $ por $ (2x + 1) $:
Passo 3
Agora que temos a expressão expandida, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ 2x^2 - x - 1 $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Vamos integrar cada termo:
- $ \int 2x^2 , dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3 $
- $ \int x , dx = \frac{x^2}{2} $
- $ \int 1 , dx = x $
Então, a integral completa fica:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 2, o $ C $ não precisa ser considerado.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 2 e 0 e subtrair:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 0 $:
Resposta
A integral vale $ \frac{4}{3} $.