Calcule a integral.
integral0^2(x-1)(2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de $ (x - 1)(2x + 1) $ de 0 a 2. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente multiplicação de funções polinomiais e integração. Para resolver isso, vamos expandir os parênteses, integrar termo a termo e depois avaliar nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os parênteses para simplificar a expressão. Multiplicando $ (x - 1) $ por $ (2x + 1) $:
(x - 1)

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de $ 2x^2 - x - 1 $ em relação a $ x $ é:
2x^2 - x - 1

Passo 4

Vamos integrar cada termo:
  1. $ \int 2x^2 , dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3 $
  2. $ \int x , dx = \frac{x^2}{2} $
  3. $ \int 1 , dx = x $
Então, a integral completa fica:
integral 2x^2 , dx = 2 cdot x^33 = 23x^3
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 2, o $ C $ não precisa ser considerado.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 2 e 0 e subtrair:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = 0 $:
23(2)^3 - (2)^22 - (2) = 23(8) - 42 - 2 = 163 - 2 - 2 = 163 - 4 = 16 - 123 = 43

Resposta

A integral vale $ \frac{4}{3} $.

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