Justifique todas as suas respostas.
Determine, pelo método da sua preferencia, se a serie é convergente ou divergente
Determine, pelo método da sua preferencia, se a serie é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o teste da razão ou o teste da raiz, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, pois o cosseno de múltiplos de
alterna entre 1 e -1. Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada.
Passo 4
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente. -
.
Vamos verificar esses critérios para
.
Passo 5
Primeiro,
é sempre positivo para
, então o primeiro critério é atendido.
Passo 6
Segundo, precisamos verificar se
é decrescente. Observando
, percebemos que o denominador cresce exponencialmente, enquanto o numerador cresce linearmente. Portanto, para
grande,
diminui.
Passo 7
Terceiro, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso ocorre porque o crescimento exponencial de
domina o crescimento linear de
, fazendo o limite tender a zero.
Passo 8
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série
é convergente.
Resposta
A série
é convergente.