Justifique todas as suas respostas.
Determine, pelo método da sua preferencia, se a serie é convergente ou divergente
sumn=1^infty n cos (n pi)2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o teste da razão ou o teste da raiz, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sumn=1^infty n (-1)^n2^n . Sabemos que , pois o cosseno de múltiplos de alterna entre 1 e -1. Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar a série . Essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada.

Passo 4

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
Vamos verificar esses critérios para .

Passo 5

Primeiro, é sempre positivo para , então o primeiro critério é atendido.

Passo 6

Segundo, precisamos verificar se é decrescente. Observando , percebemos que o denominador cresce exponencialmente, enquanto o numerador cresce linearmente. Portanto, para grande, diminui.

Passo 7

Terceiro, calculamos o limite de limn to infty n2^n = 0 quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque o crescimento exponencial de domina o crescimento linear de , fazendo o limite tender a zero.

Passo 8

Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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