Justifique todas as suas respostas.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries
sumn=2^infty x^nn ln (n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=2^infty x^nn ln (n)
Isso envolve conceitos de séries de potências. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se:
Então, a série converge se , diverge se e é inconclusiva se .

Passo 3

Identificando an = x^nn ln (n) na nossa série:
an+1 = x^n+1(n+1) ln (n+1)
Então,

Passo 4

Vamos calcular an+1an = x^n+1(n+1) ln (n+1)x^nn ln (n) = x^n+1x^n cdot n ln (n)(n+1) ln (n+1) = x cdot n ln (n)(n+1) ln (n+1) :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x cdot n ln (n)(n+1) ln (n+1) | tende ao infinito:
L = |x| cdot limn to infty nn+1 cdot ln nln (n+1)
Simplificando:
L = |x| cdot 1 cdot 1 = |x|
Sabemos que e quando , então:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se |x| < 1 , ou seja:
Isso significa que o raio de convergência é .

Passo 7

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar o comportamento da série nos extremos do intervalo, ou seja, quando sumn=2^infty 1^nn ln (n) = sumn=2^infty 1n ln n e sumn=2^infty (-1)^nn ln n .
Para :
A série vira:
Essa é uma série -completa com . Sabemos que diverge (p diverge quando ).
Para :
A série vira:
Aqui, temos uma série alternada. Vamos verificar se atende aos critérios do Teste da Série Alternada, que requer que os termos decresçam a zero. De fato, é decrescente e tende a zero, então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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