3(1,5 pt) - A equação de uma onda transversal se propagando numa corda muito longa é dada por y=8,0 sen(0,040 pi x+6,0 pi t), onde x e y estão expressos em centímetros e t em segundos. Determine
(a) o comprimento de onda;

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos a equação de uma onda transversal propagando numa corda, dada por $ \mathrm{y} = 8,0 \sin(0,040 \pi \mathrm{x} + 6,0 \pi \mathrm{t}) $. Nosso objetivo aqui é determinar o comprimento de onda dessa onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação geral das ondas e como identificar os parâmetros importantes nela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação da onda que nos foi dada. A forma geral de uma onda transversal é:
y = A sin(k x + omega t)
onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \mathrm{x} $ é a posição,
  • $ \mathrm{t} $ é o tempo.
Comparando com a equação fornecida:
A
vemos que:
  • $ A = 8,0 $ cm,
  • $ k = 0,040 \pi $ rad/cm,
  • $ \omega = 6,0 \pi $ rad/s.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da relação entre o número de onda $ k $ e o comprimento de onda $ \lambda $. A relação é dada por:
k
Essa fórmula nos permite calcular o comprimento de onda se conhecemos o número de onda.

Passo 4

Queremos encontrar $ \lambda $, então vamos isolar $ \lambda $ na equação acima:
lambda
Isso significa que, ao substituir o valor de $ k $, podemos determinar o comprimento de onda.

Passo 5

Substituindo $ k = 0,040 \pi $ rad/cm na equação:
k = 0,040 pi

Resposta

O comprimento de onda é 50 centímetros.

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