Calcule a integral.
integral0^1 xx^2+4 x+4 d x

Passo 1

Resumo do problema: calcular a integral definida integral0^1xx^2+4x+4,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais; vamos completar o quadrado no denominador e usar substituição.

Passo 2

Observe que x^2+4x+4=(x+2)^2. Isso mostra que o denominador é um quadrado perfeito, o que facilita a integral.

Passo 3

Faça a mudança de variável u=x+2. Então x=u-2 e dx=du. Ajuste os limites: quando x=0, u=2; quando x=1, u=3.

Passo 4

Reescreva a integral em termos de u:
integral0^1x(x+2)^2,dx = integral2^3u-2u^2,du = integral2^3l(1u-2u^-2r),du

Passo 5

Integre termo a termo:
integrall(1u-2u^-2r),du = ln|u| + 2u^-1 + C

Passo 6

Aplique os limites de 2 a 3:
[ln u + 2/u]2^3 = (ln3 + 2/3) - (ln2 + 2/2) = ln3 - ln2 + 23 - 1 = lnl(32r) - 13

Resposta

lnl(tfrac32r)-tfrac13

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