Calcule a integral.
integral2^4 4 x-1(x-1)(x+2) d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida integral2^4 4x-1(x-1)(x+2),dx. O conteúdo aqui é integração de frações racionais, e para resolver vamos usar o método de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
4x-1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2), obtemos:
4x-1 = A(x+2) + B(x-1)
Comparando coeficientes de x e termo constante, temos o sistema:
A+B=4, 2A - B = -1
Resolvendo, vem A=1 e B=3.

Passo 3

Substituindo de volta na integral, fica
integral2^4 (1x-1 + 3x+2),dx = integral2^4 1x-1,dx + 3integral2^4 1x+2,dx
Como integral 1x-adx = ln|x-a| + C, a primitiva é
ln|x-1| + 3ln|x+2|

Passo 4

Agora avaliamos de 2 a 4:
em x=4: ln(4-1) + 3ln(4+2)=ln3+3ln6;
em x=2: ln(2-1) + 3ln(2+2)=0+3ln4.
Subtraindo, dá
(ln3 + 3ln6) - 3ln4 = ln3 + 3(ln6 - ln4) = ln3 + 3lntfrac64 = ln3 + 3lntfrac32 = 4ln3 - 3ln2 = lntfrac818

Resposta

lntfrac818

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