Calcule a integral:
integral0^1 x^2(1+x^3)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x^2/(1+x^3)^2. O conteúdo central aqui é a técnica de substituição (u-substituição) para transformar o integrando em uma potência simples de u.

Passo 2

Vamos escolher a substituição u = 1 + x^3. Desta forma, derivando em relação a x temos du/dx = 3x^2, ou seja, du = 3x^2,dx. Assim podemos escrever x^2,dx = du/3.

Passo 3

Agora trocamos a integral original pela variável u. Quando x=0, temos u=1 e quando x=1, temos u=2. Substituindo em bloco:
[\frac{1}{3}\int_{u=1}{u=2}u{-2},du], e sabemos que a integral de u^-2 é -u^-1.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
[\frac{1}{3}\bigl[-u{-1}\bigr]_{1}{2} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + 1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}], que é o valor buscado.

Resposta

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