Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de
. O conteúdo central aqui é a técnica de substituição (u-substituição) para transformar o integrando em uma potência simples de
.
Passo 2
Vamos escolher a substituição
. Desta forma, derivando em relação a
temos
, ou seja,
. Assim podemos escrever
.
Passo 3
Agora trocamos a integral original pela variável
. Quando
, temos
e quando
, temos
. Substituindo em bloco:
[\frac{1}{3}\int_{u=1}{u=2}u{-2},du], e sabemos que a integral de é
.
[\frac{1}{3}\int_{u=1}{u=2}u{-2},du], e sabemos que a integral de
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
[\frac{1}{3}\bigl[-u{-1}\bigr]_{1}{2} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + 1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}], que é o valor buscado.
[\frac{1}{3}\bigl[-u{-1}\bigr]_{1}{2} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + 1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}], que é o valor buscado.