Seja
uma função que satisfaz
. Se
calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função $ f $ com $ f(3) = 1 $ e $ f’(3) = 4 $. Precisamos calcular a derivada de $ g(x) = \sqrt{f(x)} \ln(f(x)) $ no ponto $ x = 3 $. Para isso, vamos usar a regra do produto e a derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que $ g(x) = \sqrt{f(x)} \ln(f(x)) $ é o produto de $ u(x) = \sqrt{f(x)} $ e $ v(x) = \ln(f(x)) $. Para derivar $ g(x) $, vamos aplicar a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Calculamos $ u’(x) $. Sabemos que $ u(x) = \sqrt{f(x)} = [f(x)]^{1/2} $. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, calculamos $ v’(x) $. Temos $ v(x) = \ln(f(x)) $. Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Substituímos $ u’(x) $ e $ v’(x) $ na expressão da derivada:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Passo 7
Avaliamos em $ x = 3 $:
Sabemos que $ f(3) = 1 $, $ f’(3) = 4 $, e $ \ln(1) = 0 $.
Substituindo:
Resposta
$ g’(3) = 4 $