Seja f uma função que satisfaz f(3)=1, f^prime(3)=4. Se
g(x)=raizf(x) ln (f(x))
calcule g^prime(3).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função $ f $ com $ f(3) = 1 $ e $ f’(3) = 4 $. Precisamos calcular a derivada de $ g(x) = \sqrt{f(x)} \ln(f(x)) $ no ponto $ x = 3 $. Para isso, vamos usar a regra do produto e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que $ g(x) = \sqrt{f(x)} \ln(f(x)) $ é o produto de $ u(x) = \sqrt{f(x)} $ e $ v(x) = \ln(f(x)) $. Para derivar $ g(x) $, vamos aplicar a regra do produto, que diz que:
g(x) = raizf(x) ln(f(x))

Passo 3

Calculamos $ u’(x) $. Sabemos que $ u(x) = \sqrt{f(x)} = [f(x)]^{1/2} $. Aplicando a regra da cadeia:
u'(x)

Passo 4

Agora, calculamos $ v’(x) $. Temos $ v(x) = \ln(f(x)) $. Usando a regra da cadeia:
v'(x)

Passo 5

Substituímos $ u’(x) $ e $ v’(x) $ na expressão da derivada:
u'(x)

Passo 6

Simplificamos a expressão:
g'(x) = f'(x) ln(f(x))2 raizf(x) + raizf(x) f'(x)f(x)
g'(x) = f'(x) ln(f(x))2 raizf(x) + f'(x)raizf(x)

Passo 7

Avaliamos em $ x = 3 $:
Sabemos que $ f(3) = 1 $, $ f’(3) = 4 $, e $ \ln(1) = 0 $.
Substituindo:
x = 3

Resposta

$ g’(3) = 4 $

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