Determine a função
que satisfaz
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo envolvendo derivadas e integrais. Precisamos encontrar uma função $ f $ cuja derivada em relação a $ x $ seja $ \frac{1}{x+1} $ e que satisfaça a condição inicial $ f(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivação e integração.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função. Aqui, temos $ \frac{df}{dx} = \frac{1}{x+1} $. Para encontrar $ f(x) $, precisamos “desfazer” a derivada, ou seja, integrar $ \frac{1}{x+1} $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ \frac{1}{x+1} $ em relação a $ x $:
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é $ \ln|u| + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando essa regra, temos:
Como estamos trabalhando com valores reais e $ x+1 $ está dentro do logaritmo natural, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial $ f(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituímos $ x = 0 $ na função:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Resposta
A função que satisfaz as condições dadas é: