Ache o centroide das áreas limitadas pelas seguintes curvas.
y^2=4 x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=4

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região limitada pela parábola y²=4x, pelo eixo x (y=0) e pelas retas x=1 e x=4. O conteúdo envolve cálculo de área e de momentos estáticos para encontrar (x̄,ȳ). Vamos precisar das fórmulas
A=integral duplaR dA, bar x=1Aintegral duplaR x,dA, bar y=1Aintegral duplaR y,dA

Passo 2

Primeiro calculamos a área A. A região está entre y=0 e y=2√x, para x de 1 a 4, então
A=integral1^4l(2raizx-0r)dx =2integral1^4x^1/2dx =2cdot23l[x^3/2r]1^4 =43(4^3/2-1) =43(8-1) =283

Passo 3

Agora o momento estático em x para achar bar x:
bar x=1Aintegral duplaR x,dA =1Aintegral1^4xl(2raizxr)dx =2Aintegral1^4x^3/2dx =2Acdot25l[x^5/2r]1^4 =45A(4^5/2-1)
Substituindo A=28/3 e 4^5/2=32
bar x=45, (28/3)(32-1)=4cdot35cdot28cdot31=9335

Passo 4

Finalmente o momento estático em y para achar bar y. Podemos usar
integral duplaR y,dA=integral1^4integral0^2raizxy,dy,dx =integral1^4(2raizx)^22dx =integral1^42x,dx =2cdotx^22l|1^4 =16-1=15
Logo
bar y=1Aintegral duplaR y,dA =1528/3= rac4528

Resposta

O centróide da região é l(bar x,bar yr)=l(tfrac9335,tfrac4528r).

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