Considere a função
. Calcule:
© Os intervalos em que
é crescente e decrescente
© Os intervalos em que
Passo 1
O exercício pede para determinar os intervalos de monotonicidade da função g(x)=√(16−x²). O conteúdo envolvido é derivadas e estudo de crescimento/decrescimento, e precisaremos calcular g′(x) e analisar seu sinal no domínio de g.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio de g. Como g(x)=√(16−x²), precisamos de 16−x²≥0, isto é, −4≤x≤4. Em seguida, calculamos a derivada usando regra da cadeia:
Passo 3
Observamos que o denominador
é sempre positivo em (−4,4). Portanto, o sinal de g′(x) depende apenas de −x:
• Se x<0, então −x>0 ⇒ g′(x)>0.
• Se x>0, então −x<0 ⇒ g′(x)<0.
Em x=0 a derivada não muda de sinal, mas é o ponto crítico que separa as regiões.
• Se x<0, então −x>0 ⇒ g′(x)>0.
• Se x>0, então −x<0 ⇒ g′(x)<0.
Em x=0 a derivada não muda de sinal, mas é o ponto crítico que separa as regiões.
Passo 4
Concluímos que g é crescente quando g′(x)>0, isto é, em (−4,0), e decrescente quando g′(x)<0, isto é, em (0,4).
Resposta
g é crescente em (−4,0) e decrescente em (0,4).