Calcule a integral
integral1^2 3 x^5-2 x^3+5 x^2+3 x+1x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de 1 a 2 da função 3x^5 - 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1x^2. O conteúdo é integração de funções racionais e vamos precisar reescrever o integrando dividindo cada termo por x^2 e depois usar a regra de potência e a integral do x^-1 para resolver.

Passo 2

Para simplificar o integrando, dividimos cada termo do numerador por x^2. Assim, temos:
3x^5 - 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1x^2 = 3x^3 - 2x + 5 + 3x^-1 + x^-2

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência, que diz que integral x^n ,dx = x^n+1n+1 para n neq -1, e a definição de log para integral x^-1 ,dx = ln|x|. Isso nos dá o antiderivado:
F(x) = integrall(3x^3 - 2x + 5 + 3x^-1 + x^-2r)dx = 34x^4 - x^2 + 5x + 3ln|x| - x^-1 + C

Passo 4

Em seguida, avaliamos esse antiderivado nos limites 2 e 1:
F(2) = 34cdot 2^4 - 2^2 + 5cdot2 + 3ln2 - 12 = 12 - 4 + 10 + 3ln2 - 0.5 = 17.5 + 3ln2,
F(1) = 34cdot1^4 - 1^2 + 5cdot1 + 3ln1 - 1 = 0.75 - 1 + 5 + 0 - 1 = 3.75

Passo 5

Por fim, a integral é F(2) - F(1). Subtraindo e simplificando, obtemos:
integral1^2 3x^5 - 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1x^2 ,dx = (17.5 + 3ln2) - 3.75 = 13.75 + 3ln2 = 554 + 3ln2

Resposta

554 + 3ln2

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