Encontre a derivada da função.
s(t)=raiz[3]1+tan t

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia e a derivada da função tangente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito mais fácil de trabalhar. Sabemos que s(t) = (1 + tan t)^1/3 é o mesmo que . Então:

Passo 3

Agora, para derivar , vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, a função externa é e a função interna é .

Passo 4

Vamos começar derivando a função externa f'(x) = 13x^-2/3 . A derivada disso é:

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna g'(t) = sec^2 t . A derivada de 1 é 0 e a derivada de é . Então:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de s'(t) = f'(g(t)) cdot g'(t) = 13(1 + tan t)^-2/3 cdot sec^2 t fica:

Resposta

A derivada da função é:
s'(t) = sec^2 t3 cdot raiz[3](1 + tan t)^2

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