Calcule a integral
integral1^2 1(3-5 x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 de uma função da forma 1 sobre (3−5x)². O conteúdo envolvido é a técnica de substituição (método de mudança de variável) para integrar funções compostas.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = 3 - 5x. Então derivando, temos du = -5,dx, ou seja, dx = -tfrac15,du. Também precisamos mudar os limites: quando x=1, u=3-5cdot1=-2; quando x=2, u=3-5cdot2=-7.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u e incluindo o dx:
integral1^2 1(3-5x)^2,dx = integralu=-2^u=-7 1u^2(-15,du)
Colocando o fator constante fora da integral e invertendo limites para remover o sinal negativo, obtemos:
-15 integral-2^-7 u^-2,du = 15 integral-7^-2 u^-2,du

Passo 4

Agora aplicamos a integral de u^-2. Sabemos que
integral u^-2,du = integral u^-2,du = -u^-1 + C
Então nossa integral fica:
15 l[-u^-1r]u=-7^u=-2

Passo 5

Calculando o valor nos limites:
15 l(-1-2 - l(-1-7r)r) = 15 l(12 - 17r) = 15 cdot 514 = 114

Resposta

114

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