Calcule a integral
integral x+5x^2+x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x+5x^2+x-2,dx. Vamos usar frações parciais, que é uma técnica de integração de funções racionais onde expressamos o integrando como soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e montamos a decomposição:
x^2+x-2=(x+2)(x-1)
Logo podemos escrever
x+5(x+2)(x-1)=Ax+2+Bx-1

Passo 3

Multiplicando pelos denominadores temos
A(x-1)+B(x+2)=x+5
Comparando coeficientes de x e termo constante:
A+B=1, -A+2B=5,
resolvendo obtém-se A=-1 e B=2.

Passo 4

Substituindo na integral fica
integralx+5x^2+x-2,dx=integrall(-1x+2+2x-1r),dx
Agora integramos termo a termo usando integral1x-a,dx=ln|x-a|+C:
integral -1x+2,dx=-ln|x+2|, $$
\int \frac{2}{x-1},dx=2\ln|x-1|.
$$

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva é
-ln|x+2|+2ln|x-1|+C

Resposta

-\ln|x+2| + 2\ln|x-1| + C

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