Calcule a integral
integral x^3+xx-1 d x

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a integral integral x^3+xx-1,dx. Trata-se de uma função racional, e para integrá-la de forma simples, vamos usar a técnica de divisão de polinômios para separar uma parte polinomial e uma parte fracionária mais simples.

Passo 2

Para dividir x^3+x por x-1, organizamos a divisão polinomial:
r|l x-1 & x^3+0x^2+x+0 hline & x^2+x+2
Passo a passo:
  1. x^3div x = x^2, multiplica-se x^2(x-1)=x^3 - x^2 e subtrai: sobra x^2 + x.
  2. x^2div x = x, multiplica-se x(x-1)=x^2 - x e subtrai: sobra 2x.
  3. 2xdiv x = 2, multiplica-se 2(x-1)=2x - 2 e subtrai: sobra 2.
    Logo, o quociente é x^2+x+2 e o resto é 2.

Passo 3

Com isso, reescrevemos o integrando como soma de polinomial e fração:
x^3+xx-1 = x^2 + x + 2 + 2x-1
Portanto,
integral x^3+xx-1,dx = integrall(x^2 + x + 2r),dx + 2integral 1x-1,dx

Passo 4

Agora aplicamos as regras básicas de integração:
integral x^2,dx = x^33 + C1.
integral x,dx = x^22 + C2.
integral 2,dx = 2x + C3.
• Para integral 1x-1,dx, usamos a substituição u = x-1, ficando ln|x-1| + C4.
Somando tudo e juntando constantes, temos:

Passo 5

Finalizando, a integral fica
x^33 + x^22 + 2x + 2lnl|x-1r| + C

Resposta

x^33 + x^22 + 2x + 2ln|x-1| + C

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