Determine a equação do plano que passa pelos pontos (3,1,2), (8,2,4) e (1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano que passa pelos três pontos dados: (3,1,2), (8,2,4) e (1,2,3). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois determinar um vetor normal a esse plano usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três pontos:
  • Ponto A = (3,1,2)
  • Ponto B = (8,2,4)
  • Ponto C = (1,2,3)
Esses pontos estão no espaço 3D e são distintos, então eles determinam um único plano.

Passo 3

Agora, vamos formar dois vetores que estão no plano usando esses pontos. Vamos criar os vetores AB e AC:
  • AB = B - A = (8-3, 2-1, 4-2) = (5,1,2)
  • AC = C - A = (1-3, 2-1, 3-2) = (-2,1,1)
Esses vetores AB e AC estão no plano que queremos encontrar.

Passo 4

Para encontrar um vetor que é perpendicular ao plano (chamado de vetor normal), vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC. O produto vetorial de dois vetores dá um terceiro vetor perpendicular aos dois originais.
Calculando AB times AC:
n = i & j & k 5 & 1 & 2 -2 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot 1) - j(5 cdot 1 - 2 cdot (-2)) + k(5 cdot 1 - 1 cdot (-2))
n = i(1 - 2) - j(5 + 4) + k(5 + 2) = i(-1) - j(9) + k(7)
Então, o vetor normal é n = (-1, -9, 7).

Passo 5

Com o vetor normal n = (-1, -9, 7) e um dos pontos pelo qual o plano passa, vamos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (a, b, c) são as componentes do vetor normal.
Vamos usar o ponto A = (3,1,2):
-1(x - 3) -9(y - 1) +7(z - 2) = 0

Resposta

Simplificando a equação:
-1x + 3 -9y +9 +7z -14 = 0
- x -9y +7z -2 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais apresentável:
x + 9y -7z +2 =0
Portanto, a equação do plano é:
x + 9y -7z +2 =0

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